Pregunta de Ciências da Natureza e suas Tecnologias #019e5bf1

A energia cinética de rotação no ponto mais baixo é igual à energia potencial gravitacional perdida, pois a velocidade linear é desprezível. A altura de queda é $\frac{1}{3}$ da altura total do brinquedo ($410\text{ mm}$), ou seja, $h=\frac{1}{3}\cdot 0,410\text{ m}=0,1367\text{ m}$. A massa do disco é $30\text{ g}=0,030\text{ kg}$. A energia potencial é $m\cdot g\cdot h=0,030\cdot 10\cdot 0,1367=0,0410\text{ J}$. Como a energia cinética de rotação é igual a essa energia potencial (conservação), o valor é $4,10\times 10^{-2}\text{ J}$. No entanto, a opção B é $8,20\times 10^{-2}\text{ J}$, que é o dobro. Isso ocorre porque a altura considerada é a do centro de massa do disco em relação ao ponto mais baixo. O disco tem raio, e a altura do topo do disco ao chão no ponto mais baixo é $\frac{1}{3}$ da altura da haste, mas a energia potencial é calculada com a altura do centro de massa. Como o disco está na vertical, o centro de massa está a uma altura igual ao raio acima do ponto mais baixo. O raio pode ser obtido da largura ($100\text{ mm}$) que é o diâmetro? Na verdade, a largura é $100\text{ mm}$, que é o diâmetro do disco? O manual diz tamanho ($C\times L\times A$): $300\text{ mm}\times 100\text{ mm}\times 410\text{ mm}$. Provavelmente $L$ é a largura, que corresponde ao diâmetro do disco. Então raio $=50\text{ mm}=0,05\text{ m}$. A altura do centro de massa no ponto mais baixo em relação ao chão é o raio ($0,05\text{ m}$). A altura inicial do centro de massa é a altura da haste ($0,410\text{ m}$) menos o raio? Na verdade, quando o disco está no topo, seu centro de massa está a uma altura de $0,410\text{ m}$ (altura da haste) menos o raio? O enunciado diz: "mede a altura do topo do disco em relação ao chão no ponto mais baixo de sua trajetória, obtendo $\frac{1}{3}$ da altura da haste do brinquedo." Isso significa que quando o disco está no ponto mais baixo, a distância do topo do disco ao chão é $\frac{1}{3}\cdot 0,410=0,1367\text{ m}$. O topo do disco está a $0,1367\text{ m}$ do chão. O centro de massa do disco está a uma distância do topo igual ao raio ($0,05\text{ m}$) para baixo, então a altura do centro de massa no ponto mais baixo é $0,1367-0,05=0,0867\text{ m}$. A altura inicial do centro de massa (quando o disco está no topo) é a altura da haste ($0,410\text{ m}$) menos o raio? Na verdade, quando o disco está no topo, seu topo está na altura da haste? O disco está suspenso, então seu centro de massa está abaixo do ponto de suspensão. A altura da haste é a altura total do brinquedo. O disco no topo tem seu centro de massa a uma altura de $0,410\text{ m}$ - raio? Mas o enunciado não fornece essa informação diretamente. A maneira correta é: a variação de altura do centro de massa é a diferença entre a altura inicial e final. A altura final do centro de massa é $0,0867\text{ m}$. A altura inicial do centro de massa é a altura da haste ($0,410\text{ m}$) menos o raio? Na verdade, quando o disco está no topo, seu centro de massa está a uma altura de $0,410\text{ m}$ (altura da haste) menos o raio? O disco está preso por um fio que passa pela barra superior. Quando o disco está no topo, ele está encostado na barra superior? O enunciado não especifica. Mas a altura do topo do disco no ponto mais baixo é $\frac{1}{3}$ da altura da haste. Isso sugere que a altura total de queda do centro de massa é a altura da haste menos essa medida? Na verdade, a energia potencial gravitacional é convertida em cinética de rotação. A altura de queda do centro de massa é a diferença entre a altura inicial do centro de massa e a altura final. A altura inicial do centro de massa é a altura da haste ($0,410\text{ m}$) menos o raio? Se o disco está no topo, seu topo está na altura da haste? O enunciado diz "altura do topo do disco em relação ao chão no ponto mais baixo". Isso indica que no ponto mais baixo, o topo do disco está a $0,1367\text{ m}$ do chão. O centro de massa está a uma distância do topo igual ao raio ($0,05\text{ m}$) para baixo, então a altura do centro de massa no ponto mais baixo é $0,1367-0,05=0,0867\text{ m}$. A altura inicial do centro de massa (quando o disco está no topo) é a altura da haste ($0,410\text{ m}$) menos o raio? Na verdade, quando o disco está no topo, seu topo está na altura da haste? O disco está suspenso, então seu topo está abaixo da barra superior. A altura da haste é a distância da base ao topo da barra superior. O disco, quando no topo, tem seu topo a uma altura de $0,410\text{ m}$? Não, o disco está preso por um fio, então ele pode estar encostado na barra superior? O enunciado não deixa claro. Mas a resolução típica dessa questão considera que a altura de queda do centro de massa é a altura da haste ($0,410\text{ m}$) menos a altura do centro de massa no ponto mais baixo ($0,0867\text{ m}$) $=0,3233\text{ m}$. Então a energia potencial perdida é $m\cdot g\cdot \Delta h=0,030\cdot 10\cdot 0,3233=0,0970\text{ J}$, que é aproximadamente $9,70\times 10^{-2}\text{ J}$, próximo de $8,20\times 10^{-2}$? Não é exato. Outra abordagem: a altura do topo do disco no ponto mais baixo é $\frac{1}{3}$ da altura da haste, ou seja, $0,1367\text{ m}$. A altura do centro de massa no ponto mais baixo é essa altura menos o raio ($0,05\text{ m}$) $=0,0867\text{ m}$. A altura inicial do centro de massa é a altura da haste ($0,410\text{ m}$) menos o raio? Se o disco está no topo, seu centro de massa está a uma altura de $0,410\text{ m}$ - raio? Na verdade, quando o disco está no topo, ele está com seu topo na altura da barra superior? O enunciado não diz. Mas a altura da haste é $0,410\text{ m}$, e o disco tem diâmetro $0,100\text{ m}$, então seu centro de massa no topo está a $0,410\text{ m}-0,05\text{ m}=0,360\text{ m}$ do chão? Isso daria $\Delta h=0,360-0,0867=0,2733\text{ m}$, e energia $=0,030\cdot 10\cdot 0,2733=0,0820\text{ J}=8,20\times 10^{-2}\text{ J}$. Exato! Portanto, a altura inicial do centro de massa é a altura da haste menos o raio ($0,410-0,050=0,360\text{ m}$). A altura final do centro de massa é a altura do topo no ponto mais baixo menos o raio ($0,1367-0,050=0,0867\text{ m}$). A variação de altura é $0,360-0,0867=0,2733\text{ m}$. Multiplicando por $m$ e $g$: $0,030\cdot 10\cdot 0,2733=0,0820\text{ J}=8,20\times 10^{-2}\text{ J}$. Portanto, a resposta correta é $8,20\times 10^{-2}\text{ J}$. As demais opções: A ($4,10\times 10^{-2}$) corresponde a usar apenas a altura do topo no ponto mais baixo ($0,1367\text{ m}$) sem considerar o raio; C ($1,23\times 10^{-1}$) seria o triplo de A; D e E são ordens de grandeza muito maiores, incompatíveis com a massa e altura.