Um grupo de engenheiros está projetando um motor cujo esquema de deslocamento vertical do pistão dentro da câmara de combustão está representado na figura. A função h(t) = 4 + 4\sin\left(\beta t/2 -...

Um grupo de engenheiros está projetando um motor cuj... | Pregunta de Matemática e suas Tecnologias

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A resposta correta é a alternativa que indica o menor valor de $β$ igual a 5.

Para resolver o problema, começamos igualando a função de altura $h (t)$ a 6 cm:
$4 + 4 sin (\frac{β t}{2} - \frac{π}{2}) = 6$
$4 sin (\frac{β t}{2} - \frac{π}{2}) = 2 ⟹ sin (\frac{β t}{2} - \frac{π}{2}) = \frac{1}{2}$

Os valores no ciclo trigonométrico para os quais o seno é igual a $1/2$ são, em ordem crescente:

$θ_{1} = \frac{π}{6}$ (primeira vez)
$θ_{2} = \frac{5 π}{6}$ (segunda vez)
$θ_{3} = \frac{13 π}{6}$ (terceira vez)

Como queremos que a altura alcance 6 cm pela terceira vez, igualamos o argumento da função à terceira solução:
$\frac{β t}{2} - \frac{π}{2} = \frac{13 π}{6}$

Substituindo a aproximação de $π \approx 3$ :
$\frac{β t}{2} - \frac{3}{2} = \frac{13 \cdot 3}{6}$
$\frac{β t}{2} - 1, 5 = 6, 5$
$\frac{β t}{2} = 8 ⟹ β t = 16 ⟹ t = \frac{16}{β}$

A condição estabelecida é que esse evento ocorra em menos de 4 segundos ( $t < 4$ ):
$\frac{16}{β} < 4 ⟹ 16 < 4 β ⟹ β > 4$

Como o parâmetro $β$ deve ser um número inteiro positivo, o menor valor possível que atende a essa condição é $β = 5$ .

Pregunta de Matemática e suas Tecnologias #019e5bf1

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