Pregunta de Matemática e suas Tecnologias #019e5c01
Um contrato de empréstimo prevê que quando uma parcela é paga de forma antecipada, conceder-se-á uma redução de juros de acordo com o período de antecipação. Nesse caso, paga-se o valor presente, que é o valor, naquele momento, de uma quantia que deveria ser paga em uma data futura. Um valor presente P submetido a juros compostos com taxa i, por um período de tempo n, produz um valor futuro V determinado pela fórmula V = P ⋅ (1+i)^n.
Em um contrato de empréstimo com sessenta parcelas fixas mensais, de R$ 820,00, a uma taxa de juros de 1,32% ao mês, junto com a trigésima parcela será paga antecipadamente uma outra parcela, desde que o desconto seja superior a 25% do valor da parcela. Utilize 0,2877 como aproximação para ln(4/3) e 0,0131 como aproximação para ln(1,0132).
A primeira das parcelas que poderá ser antecipada junto com a 30a é a
56a
55a
52a
51a
45a
Explicación Oficial / Explicaciones de la Comunidad
A questão envolve o cálculo do valor presente de uma parcela futura, considerando juros compostos, para determinar a partir de qual parcela o desconto ao antecipá-la supera 25% do valor da parcela. O valor da parcela é R$ 820,00, a taxa de juros é 1,32% ao mês (i = 0,0132), e a antecipação ocorre junto com a 30ª parcela. O desconto é a diferença entre o valor futuro (R$ 820,00) e o valor presente P. Queremos que esse desconto seja superior a 25% de R$ 820,00, ou seja, maior que R$ 205,00. Isso equivale a P < 0,75 × 820 = R$ 615,00. Pela fórmula V = P ⋅ (1+i)^n, temos P = V / (1+i)^n. Para uma parcela que seria paga no mês n (n > 30), o número de meses de antecipação é (n - 30). Assim, P = 820 / (1,0132)^(n-30). Queremos P < 615, ou seja, 820 / (1,0132)^(n-30) < 615 → (1,0132)^(n-30) > 820/615 = 4/3. Aplicando logaritmo natural: (n-30) ⋅ ln(1,0132) > ln(4/3). Usando as aproximações fornecidas: ln(4/3) ≈ 0,2877 e ln(1,0132) ≈ 0,0131. Então (n-30) > 0,2877 / 0,0131 ≈ 21,96. Como n é inteiro, n-30 ≥ 22, logo n ≥ 52. Portanto, a primeira parcela que pode ser antecipada é a 52ª. As demais alternativas (56ª, 55ª, 51ª, 45ª) estão incorretas: a 56ª e 55ª também satisfazem, mas não são a primeira; a 51ª resulta em n-30 = 21, que é menor que 22, não atendendo à condição; a 45ª resulta em n-30 = 15, também insuficiente.