A probabilidade de que, em algum dos dias letivos de fevereiro, esse rapaz tenha apanhado o ônibus antes de 6 h 21 min da manhã é, no máximo,

A probabilidade de que, em algum dos dias letivos de... | Pregunta de Matemática e suas Tecnologias

A questão envolve análise de dados com moda e mediana. A moda é $6 h 21 min$ , indicando que esse horário foi o mais frequente. A mediana é $6 h 22 min$ , o que significa que, ordenando os $21$ horários, o $1 1^{\circ}$ valor é $6 h 22 min$ . Para maximizar a probabilidade de o rapaz ter pego o ônibus antes de $6 h 21 min$ , devemos considerar o menor número possível de horários iguais ou posteriores a $6 h 21 min$ . Como a mediana é $6 h 22 min$ , pelo menos $11$ horários são $\geq 6 h 22 min$ (do $1 1^{\circ}$ ao $2 1^{\circ}$ ). Além disso, a moda $6 h 21 min$ pode se repetir várias vezes. Para minimizar os horários antes de $6 h 21 min$ , colocamos o máximo de horários possíveis em $6 h 21 min$ e após. Supondo que os $11$ horários a partir da mediana sejam todos $\geq 6 h 22 min$ , sobram $10$ horários para os primeiros $10$ valores ordenados. Destes, o maior valor possível antes de $6 h 21 min$ é $6 h 20 min$ . Para que a moda seja $6 h 21 min$ , esse horário deve aparecer mais vezes que qualquer outro. Se colocarmos $6 h 21 min$ aparecendo, por exemplo, $7$ vezes, e os outros $3$ horários antes de $6 h 21 min$ ( $6 h 15 min$ a $6 h 20 min$ ), totalizamos $3$ horários antes de $6 h 21 min$ . Mas precisamos verificar a mediana: o $1 1^{\circ}$ valor é $6 h 22 min$ , então os $10$ primeiros são $\leq 6 h 21 min$ . Se tivermos $7$ horários iguais a $6 h 21 min$ , eles ocupam posições $4$ a $10$ (por exemplo), e os $3$ primeiros são antes. Assim, há $3$ horários antes de $6 h 21 min$ . A probabilidade máxima de pegar o ônibus antes de $6 h 21 min$ é $\frac{3}{21}$ , mas isso não está nas opções. Precisamos do máximo possível, que é quando o número de horários antes de $6 h 21 min$ é o maior possível, respeitando moda e mediana. A mediana $6 h 22 min$ implica que pelo menos $11$ horários são $\geq 6 h 22 min$ . Para maximizar os horários antes de $6 h 21 min$ , devemos minimizar os horários iguais a $6 h 21 min$ e após. Como a moda é $6 h 21 min$ , esse horário deve aparecer pelo menos uma vez a mais que qualquer outro. Se colocarmos $6 h 21 min$ aparecendo $7$ vezes, e os outros horários antes de $6 h 21 min$ aparecendo no máximo $6$ vezes cada, podemos ter até $6$ horários antes de $6 h 21 min$ (por exemplo, $6 h 15 min$ a $6 h 20 min$ cada um aparecendo uma vez). Mas precisamos totalizar $21$ horários. Se temos $11$ horários $\geq 6 h 22 min$ , sobram $10$ horários para os primeiros $10$ valores. Desses $10$ , se $7$ são $6 h 21 min$ , sobram $3$ para antes de $6 h 21 min$ . Para aumentar o número antes de $6 h 21 min$ , precisamos reduzir o número de $6 h 21 min$ . A moda exige que $6 h 21 min$ seja o mais frequente. Se colocarmos $6 h 21 min$ aparecendo $5$ vezes, e outros horários antes aparecendo no máximo $4$ vezes, podemos ter até $5$ horários antes de $6 h 21 min$ (por exemplo, $5$ horários diferentes antes). Mas ainda temos $11$ horários $\geq 6 h 22 min$ , totalizando $5 + 5 + 11 = 21$ . Nesse caso, a moda é $6 h 21 min$ com $5$ ocorrências, e a mediana é $6 h 22 min$ ( $1 1^{\circ}$ valor). Assim, há $5$ horários antes de $6 h 21 min$ . A probabilidade máxima é $\frac{5}{21}$ , que corresponde à opção B. No entanto, o gabarito é D ( $\frac{7}{21}$ ). Vamos reconsiderar: a mediana é $6 h 22 min$ , então o $1 1^{\circ}$ valor é $6 h 22 min$ . Isso significa que os $10$ primeiros valores são $\leq 6 h 21 min$ . Para maximizar o número de horários antes de $6 h 21 min$ , devemos fazer com que o maior número possível desses $10$ primeiros seja estritamente menor que $6 h 21 min$ . Como a moda é $6 h 21 min$ , esse horário deve aparecer mais vezes que qualquer outro. Se colocarmos $6 h 21 min$ aparecendo $4$ vezes, e os outros $6$ horários antes de $6 h 21 min$ (cada um diferente, por exemplo), então temos $6$ horários antes de $6 h 21 min$ . Mas a moda seria $6 h 21 min$ com $4$ ocorrências, e os outros horários aparecem uma vez cada, então $4$ é a maior frequência. Isso é possível. Então teríamos $6$ horários antes de $6 h 21 min$ , probabilidade $\frac{6}{21}$ (opção C). Ainda não é D. Para $\frac{7}{21}$ , precisaríamos de $7$ horários antes de $6 h 21 min$ . Isso significa que dos $10$ primeiros, $7$ são antes e $3$ são $6 h 21 min$ . Mas então a moda seria $6 h 21 min$ com $3$ ocorrências, e os horários antes aparecem cada um uma vez, então a maior frequência é $3$ . Isso é possível? Sim, desde que nenhum outro horário tenha frequência maior que $3$ . Mas precisamos também dos $11$ horários $\geq 6 h 22 min$ . Se temos $7$ antes, $3$ iguais a $6 h 21 min$ , totalizam $10$ , e mais $11$ após, total $21$ . A moda é $6 h 21 min$ com $3$ ocorrências, e a mediana é $6 h 22 min$ ( $1 1^{\circ}$ valor). Isso é consistente. Portanto, é possível ter $7$ horários antes de $6 h 21 min$ . A probabilidade máxima é $\frac{7}{21}$ , opção D. Para $\frac{8}{21}$ , teríamos $8$ antes e $2$ iguais a $6 h 21 min$ , mas então a moda seria $6 h 21 min$ com $2$ ocorrências, e os horários antes aparecem cada um uma vez, então a maior frequência é $2$ . Mas se houver $8$ horários antes, eles podem ser todos diferentes, então a maior frequência é $2$ (de $6 h 21 min$ ). Isso é possível? Sim, mas precisamos verificar se a mediana ainda é $6 h 22 min$ . Com $8$ antes e $2$ iguais a $6 h 21 min$ , os $10$ primeiros são: $8$ antes (menores que $6 h 21 min$ ) e $2$ iguais a $6 h 21 min$ . O $1 1^{\circ}$ valor é o primeiro dos $\geq 6 h 22 min$ , que é $6 h 22 min$ . Então mediana $6 h 22 min$ . Moda: $6 h 21 min$ aparece $2$ vezes, e os horários antes aparecem uma vez cada, então a maior frequência é $2$ . Mas pode haver outro horário com frequência $2$ ? Se algum horário antes se repetir, aí a moda pode ser outro. Para garantir que a moda seja $6 h 21 min$ , precisamos que nenhum outro horário tenha frequência maior ou igual a $2$ . Se todos os $8$ antes são diferentes, então a maior frequência é $2$ ( $6 h 21 min$ ). Isso é válido. Então $\frac{8}{21}$ também seria possível? Mas o gabarito é D, então $\frac{8}{21}$ não é máximo? A questão pede "no máximo". Se $\frac{8}{21}$ é possível, então o máximo seria $\frac{8}{21}$ . No entanto, precisamos considerar que o rapaz nunca chega antes de $6 h 15 min$ , então os horários antes de $6 h 21 min$ estão entre $6 h 15 min$ e $6 h 20 min$ , totalizando $6$ minutos possíveis ( $6 h 15 min$ , $6 h 16 min$ , $6 h 17 min$ , $6 h 18 min$ , $6 h 19 min$ , $6 h 20 min$ ). Portanto, há apenas $6$ horários distintos possíveis antes de $6 h 21 min$ . Se quisermos $8$ horários antes de $6 h 21 min$ , precisaríamos repetir algum desses horários. Se repetirmos, a frequência desse horário pode se igualar ou superar a de $6 h 21 min$ . Por exemplo, se tivermos $8$ horários antes, com $6 h 15 min$ aparecendo $3$ vezes, e os outros $5$ uma vez cada, então a maior frequência seria $3$ ( $6 h 15 min$ ), e a moda não seria $6 h 21 min$ . Para que a moda seja $6 h 21 min$ , a frequência de $6 h 21 min$ deve ser maior que a de qualquer outro horário. Se temos $8$ horários antes, e apenas $6$ valores possíveis, pelo menos um valor se repete. Pelo princípio da casa dos pombos, com $8$ horários em $6$ valores, pelo menos um valor aparece pelo menos $2$ vezes. Se esse valor aparecer $2$ vezes, e $6 h 21 min$ aparecer $2$ vezes, há empate na moda, o que não é permitido (a moda é única? O texto diz "6 h 21 min foi o que mais se repetiu", indicando que é o único com maior frequência). Portanto, a frequência de $6 h 21 min$ deve ser estritamente maior que a de qualquer outro. Se $6 h 21 min$ aparece $2$ vezes, nenhum outro pode aparecer $2$ ou mais. Mas com $8$ horários em $6$ valores, é inevitável que algum valor apareça pelo menos $2$ vezes ( $\frac{8}{6} > 1$ ). Então, se $6 h 21 min$ aparece $2$ vezes, some outro horário também aparecerá $2$ vezes, violando a moda única. Se $6 h 21 min$ aparece $3$ vezes, então podemos ter $7$ horários antes (pois $7 + 3 = 10$ , e mais $11$ após). Com $7$ horários em $6$ valores, pelo menos um valor aparece $2$ vezes. Se esse valor aparecer $2$ vezes, a frequência máxima seria $3$ ( $6 h 21 min$ ) ainda maior que $2$ , então a moda ainda é $6 h 21 min$ . Mas se $6 h 21 min$ aparece $3$ vezes, e algum outro aparece $2$ vezes, a moda é $6 h 21 min$ ( $3 > 2$ ). Então é possível ter $7$ horários antes? Sim, com $7$ horários antes, temos $7$ valores em $6$ possibilidades, então pelo menos um se repete. Se a repetição for de $2$ , a moda é $6 h 21 min$ com $3$ . Se a repetição for de $3$ , aí empataria com $6 h 21 min$ , o que não pode. Mas podemos escolher a repetição de forma que não ultrapasse $2$ . Então é possível ter $7$ horários antes, com $6 h 21 min$ aparecendo $3$ vezes, e os $7$ antes distribuídos de modo que um deles apareça $2$ vezes e os outros $5$ uma vez cada. Assim, a maior frequência é $3$ ( $6 h 21 min$ ). Portanto, $7$ horários antes é possível. Para $8$ horários antes, teríamos $8 + 2 = 10$ primeiros (se $6 h 21 min$ aparece $2$ vezes) ou $8 + 3 = 11$ (se $6 h 21 min$ aparece $3$ vezes, mas aí o $1 1^{\circ}$ seria $6 h 21 min$ , não $6 h 22 min$ ). Se $6 h 21 min$ aparece $2$ vezes, então os $10$ primeiros são $8$ antes + $2$ iguais a $6 h 21 min$ . Com $8$ antes em $6$ valores, pelo menos um valor aparece pelo menos $2$ vezes ( $\frac{8}{6} \approx 1, 33$ , então pelo menos um aparece $2$ vezes). Se esse valor aparecer $2$ vezes, a frequência máxima seria $2$ (empate com $6 h 21 min$ ). Para evitar empate, $6 h 21 min$ deveria aparecer $3$ vezes, mas aí os $10$ primeiros seriam $7$ antes + $3$ iguais a $6 h 21 min$ , total $10$ , e o $1 1^{\circ}$ seria $6 h 22 min$ . Nesse caso, temos $7$ antes, não $8$ . Portanto, $8$ antes não é possível sem violar a moda. Assim, o máximo de horários antes de $6 h 21 min$ é $7$ . Probabilidade máxima = $\frac{7}{21}$ . Portanto, a resposta correta é D.

Pregunta de Matemática e suas Tecnologias #019e5c01

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