Pregunta de Matemática e suas Tecnologias #019e5c02

A questão trata de um empréstimo com juros compostos à taxa mensal de $i\%$, pago em 8 parcelas fixas $P$. O devedor, após pagar a 5ª parcela, decide quitar a dívida no ato de pagar a 6ª parcela. Isso significa que ele pagará a 6ª parcela normalmente e, em seguida, quitará as parcelas restantes (7ª e 8ª) antecipadamente, pagando o valor atual dessas parcelas no momento do pagamento da 6ª parcela. O valor total pago na quitação é a soma da 6ª parcela (paga integralmente) mais o valor presente das duas parcelas futuras (7ª e 8ª).

O valor presente de uma parcela futura $P$ a ser paga $n$ meses após a data de quitação, com taxa de juros $i\%$ ao mês, é dado por $\frac{P}{(1+\frac{i}{100}{)}^n}$. Assim, o valor presente da 7ª parcela (1 mês após a quitação) é $\frac{P}{(1+\frac{i}{100})}$, e o da 8ª parcela (2 meses após) é $\frac{P}{(1+\frac{i}{100}{)}^2}$. Somando a 6ª parcela ($P$) com esses dois valores, obtemos $P+\frac{P}{(1+\frac{i}{100})}+\frac{P}{(1+\frac{i}{100}{)}^2}=P\left[1+\frac{1}{(1+\frac{i}{100})}+\frac{1}{(1+\frac{i}{100}{)}^2}\right]$.

A alternativa que apresenta $P\left[\frac{1}{(1+\frac{i}{100})}+\frac{1}{(1+\frac{i}{100}{)}^2}+\frac{1}{(1+\frac{i}{100}{)}^3}\right]$ está incorreta porque considera três parcelas futuras (6ª, 7ª e 8ª) com valor presente, mas a 6ª parcela é paga integralmente, não descontada. A alternativa que apresenta $P\left[1+\frac{1}{(1+i)}+\frac{1}{(1+2i)}\right]$ está incorreta por usar juros simples (divisão por $1+ni$) em vez de juros compostos. A alternativa que apresenta $P\left[1+\frac{1}{(1+i{)}^2}+\frac{1}{(1+i{)}^2}\right]$ está incorreta por usar a taxa $i$ sem dividir por 100 e por repetir o mesmo termo. A alternativa que apresenta $P\left[\frac{1}{(1+\frac{i}{100})}+\frac{1}{(1+\frac{2i}{100})}+\frac{1}{(1+\frac{3i}{100})}\right]$ está incorreta por usar juros simples nos denominadores. Portanto, a expressão correta é $P\left[1+\frac{1}{(1+\frac{i}{100})}+\frac{1}{(1+\frac{i}{100}{)}^2}\right]$.