Pregunta de Matemática e suas Tecnologias #019e5c02
Uma desenhista projetista deverá desenhar uma tampa de panela em forma circular. Para realizar esse desenho, ela dispõe, no momento, de apenas um compasso, cujo comprimento das hastes é de 10 cm, um transferidor e uma folha de papel com um plano cartesiano.
Para esboçar o desenho dessa tampa, ela afastou as hastes do compasso de forma que o ângulo formado por elas fosse de 120°. A ponta seca está representada pelo ponto C, a ponta do grafite está representada pelo ponto B e a cabeça do compasso está representada pelo ponto A conforme a figura.
Após concluir o desenho, ela o encaminha para o setor de produção. Ao receber o desenho com a indicação do raio da tampa, verificará em qual intervalo este se encontra e decidirá o tipo de material a ser utilizado na sua fabricação, de acordo com os dados. Considere 1,7 como aproximação para √3. O tipo de material a ser utilizado pelo setor de produção será
I
II
III
IV
V
Explicación Oficial / Explicaciones de la Comunidad
A questão envolve geometria plana e trigonometria. O compasso tem hastes de 10 cm, que formam um ângulo de 120° entre si. A ponta seca (C) e a ponta do grafite (B) estão nas extremidades das hastes, e a cabeça (A) é o vértice do ângulo. O raio da tampa circular é a distância entre C e B, que é o lado oposto ao ângulo de 120° no triângulo isósceles ABC, onde AC = AB = 10 cm. Pela lei dos cossenos: CB2=AC2+AB2−2⋅AC⋅AB⋅cos(120°). Como cos(120°)=−21, temos CB2=102+102−2⋅10⋅10⋅(−21)=100+100+100=300. Logo, CB=300=103≈10⋅1,7=17 cm. O raio está entre 15 e 21 cm, correspondendo ao material IV. As demais alternativas (I, II, III, V) correspondem a intervalos que não incluem 17 cm.