Pregunta de Matemática e suas Tecnologias #019e5c03
A distribuição de salários pagos em uma empresa pode ser analisada destacando-se a parcela do total da massa salarial que é paga aos 10% que recebem os maiores salários. Isso pode ser representado na forma de um gráfico formado por dois segmentos de reta, unidos em um ponto P, cuja abscissa tem valor igual a 90, como ilustrado na figura.
No eixo horizontal do gráfico tem-se o percentual de funcionários, ordenados de forma crescente pelos valores de seus salários, e no eixo vertical tem-se o percentual do total da massa salarial de todos os funcionários.
O Índice de Gini, que mede o grau de concentração de renda de um determinado grupo, pode ser calculado pela razão A / (A + B), em que A e B são as medidas das áreas indicadas no gráfico.
A empresa tem como meta tornar seu Índice de Gini igual ao do país, que é 0,3. Para tanto, precisa ajustar os salários de modo a alterar o percentual que representa a parcela recebida pelos 10% dos funcionários de maior salário em relação ao total da massa salarial.
Para atingir a meta desejada, o percentual deve ser
40%
20%
60%
30%
70%
Explicación Oficial / Explicaciones de la Comunidad
A área B sob a curva de Lorenz, que é composta por dois segmentos de reta ligados no ponto P(90,100−x), onde x é a porcentagem da massa salarial recebida pelos 10% mais ricos, é calculada pela soma da área de um triângulo (de 0 a 90) e de um trapézio (de 90 a 100):
B=290⋅(100−x)+2(100−x+100)⋅10=45(100−x)+5(200−x)=5500−50x
A área total sob a linha de perfeita igualdade (a bissetriz) é a área de um triângulo retângulo de catetos 100 e 100, ou seja, A+B=2100⋅100=5000.
Portanto, a área A é dada por:
A=5000−B=5000−(5500−50x)=50x−500
O Índice de Gini é a razão entre A e A+B:
Gini=A+BA=500050x−500
Queremos que o Índice de Gini seja igual a 0,3:
\frac{50x - 500}{5000} = 0,3 \Rightarrow 50x - 500 = 1500 \Rightarrow 50x = 2000 \Rightarrow x = 40$
Portanto, o percentual deve ser 40%, correspondendo à alternativa A.