Pregunta de Matemática e suas Tecnologias #019e5c03

O objetivo é que a peça de base circular não caiba nas outras perfurações e que as outras peças não caibam na perfuração circular. Isso significa que o diâmetro do círculo deve ser maior que o maior lado da menor seção transversal de cada uma das outras formas, mas menor que o menor lado da maior seção transversal? Na verdade, a condição é que a peça circular não deve caber nas outras perfurações, ou seja, o diâmetro do círculo deve ser maior que a menor dimensão de cada uma das outras perfurações (para que a peça circular não entre). E as outras peças não devem caber na perfuração circular, ou seja, o diâmetro do círculo deve ser menor que a maior dimensão de cada uma das outras peças? Vamos analisar cada perfuração:

• Perfuração quadrada (Q): lado 4 cm. A maior distância dentro do quadrado é a diagonal: $d_Q=4\sqrt{2}\approx 4\cdot 1,4=5,6$ cm. A menor distância é o lado: 4 cm. Para que a peça circular não caiba no quadrado, o diâmetro do círculo deve ser maior que o lado do quadrado (4 cm), pois se o diâmetro for menor ou igual a 4 cm, a peça circular poderia ser inserida. Mas também, para que a peça quadrada não caiba no círculo, o diâmetro do círculo deve ser menor que a diagonal do quadrado (5,6 cm), pois se for maior, a peça quadrada poderia ser inserida. Portanto, para o quadrado: $4<d<5,6$.

• Perfuração retangular (R): base 3 cm, altura 4 cm. A menor dimensão é 3 cm (base), a maior dimensão é a diagonal: $d_R=\sqrt{3^2+4^2}=5$ cm. Para que a peça circular não caiba no retângulo, o diâmetro deve ser maior que a menor dimensão (3 cm). Para que a peça retangular não caiba no círculo, o diâmetro deve ser menor que a maior dimensão (5 cm). Portanto: $3<d<5$.

• Perfuração triangular equilátera (T): lado 6,8 cm. A menor dimensão é a altura: $h=\frac{6,8\sqrt{3}}{2}\approx \frac{6,8\cdot 1,7}{2}=\frac{11,56}{2}=5,78$ cm. A maior dimensão é o lado: 6,8 cm. Para que a peça circular não caiba no triângulo, o diâmetro deve ser maior que a altura (5,78 cm). Para que a peça triangular não caiba no círculo, o diâmetro deve ser menor que o lado (6,8 cm). Portanto: $5,78<d<6,8$.

A interseção dessas condições é: $d>4$, $d>3$, $d>5,78$ (portanto $d>5,78$) e $d<5,6$, $d<5$, $d<6,8$ (portanto $d<5$). Não há valor que satisfaça $d>5,78$ e $d<5$ simultaneamente. Isso indica que a interpretação pode estar equivocada. Na verdade, a condição é que a peça circular não caiba nas outras perfurações, ou seja, o diâmetro do círculo deve ser maior que a maior dimensão de cada uma das outras perfurações? Vamos pensar: para que a peça circular não entre no quadrado, o diâmetro deve ser maior que a diagonal do quadrado? Não, se o diâmetro for maior que a diagonal, a peça circular não entra, mas se for maior que o lado, também não entra? Na verdade, a peça circular pode ser inserida se o diâmetro for menor ou igual à menor dimensão da abertura. Para que não caiba, o diâmetro deve ser maior que a menor dimensão. Mas também, para que a peça quadrada não caiba no círculo, o diâmetro deve ser menor que a menor dimensão do quadrado? Não, a peça quadrada pode ser inserida no círculo se a diagonal do quadrado for menor ou igual ao diâmetro. Portanto, para que não caiba, o diâmetro deve ser menor que a diagonal. Assim, as condições são:

• Quadrado: $d>4$ (para não caber no quadrado) e $d<5,6$ (para o quadrado não caber no círculo).
• Retângulo: $d>3$ e $d<5$.
• Triângulo: $d>5,78$ e $d<6,8$.

A interseção é vazia. Isso sugere que o problema considera que a peça circular não deve caber nas outras perfurações, mas as outras peças podem caber na circular? O enunciado diz: "O marceneiro não quer que as outras peças caibam na perfuração circular e nem que a peça de base circular caiba nas demais perfurações." Portanto, ambas as condições devem ser satisfeitas. No entanto, a análise acima mostra que não há diâmetro que satisfaça todas. Talvez a interpretação das dimensões relevantes esteja errada. Para o triângulo equilátero, a menor dimensão é a altura, mas a peça circular pode ser inserida no triângulo se o diâmetro for menor ou igual ao raio do círculo inscrito? Na verdade, para que uma peça circular caiba em um triângulo equilátero, o diâmetro deve ser menor ou igual ao diâmetro do círculo inscrito no triângulo. O círculo inscrito tem raio $r=\frac{l\sqrt{3}}{6}=\frac{6,8\cdot 1,7}{6}=\frac{11,56}{6}\approx 1,9267$ cm, diâmetro $\approx 3,85$ cm. Portanto, para que a peça circular não caiba no triângulo, o diâmetro deve ser maior que 3,85 cm. E para que a peça triangular não caiba no círculo, o diâmetro deve ser menor que a maior dimensão do triângulo, que é o lado (6,8 cm) ou a altura? Na verdade, a peça triangular pode ser inserida no círculo se o círculo circunscrito ao triângulo tiver diâmetro menor ou igual ao diâmetro do círculo. O círculo circunscrito ao triângulo equilátero tem raio $R=\frac{l\sqrt{3}}{3}=\frac{6,8\cdot 1,7}{3}=\frac{11,56}{3}\approx 3,8533$ cm, diâmetro $\approx 7,7067$ cm. Portanto, para que a peça triangular não caiba no círculo, o diâmetro do círculo deve ser menor que 7,7067 cm. Mas isso é muito grande. No entanto, a condição mais restritiva para o triângulo é que a peça circular não caiba no triângulo: $d>3,85$ cm. E para o quadrado: a peça circular não caiba no quadrado: $d>4$ cm (lado). Para o retângulo: $d>3$ cm (menor lado). A condição mais forte é $d>4$ cm. Agora, para que as outras peças não caibam no círculo:

• Quadrado: a peça quadrada não cabe no círculo se a diagonal do quadrado for maior que o diâmetro, ou seja, $d<5,6$ cm.
• Retângulo: a peça retangular não cabe no círculo se a diagonal do retângulo for maior que o diâmetro, ou seja, $d<5$ cm.
• Triângulo: a peça triangular não cabe no círculo se o diâmetro do círculo circunscrito ao triângulo for maior que o diâmetro do círculo, ou seja, $d<7,7067$ cm.

A condição mais restritiva é $d<5$ cm. Portanto, temos $4<d<5$. As opções são: I: 3,8 (menor que 4, não serve), II: 4,7 (entre 4 e 5, serve), III: 5,6 (maior que 5, não serve), IV: 7,2 (maior que 5, não serve), V: 9,4 (maior que 5, não serve). Portanto, a opção correta é II, diâmetro 4,7 cm.