Pregunta de Matemática e suas Tecnologias #019e5c05
O acréscimo de tecnologias no sistema produtivo industrial tem por objetivo reduzir custos e aumentar a produtividade. No primeiro ano de funcionamento, uma indústria fabricou 8 000 unidades de um determinado produto. No ano seguinte, investiu em tecnologia adquirindo novas máquinas e aumentou a produção em 50%. Estima-se que esse aumento percentual se repita nos próximos anos, garantindo um crescimento anual de 50%. Considere P a quantidade anual de produtos fabricados no ano t de funcionamento da indústria.
Se a estimativa for alcançada, qual é a expressão que determina o número de unidades produzidas P em função de t, para t ≥ 1?
P(t)=0,5⋅t−1+8000
P(t)=50⋅t−1+8000
P(t)=4000⋅t−1+8000
P(t)=8000⋅(0,5)t−1
P(t)=8000⋅(1,5)t−1
Explicación Oficial / Explicaciones de la Comunidad
A questão descreve um crescimento percentual constante de 50% ao ano, caracterizando um modelo de crescimento exponencial. A produção inicial no ano t=1 é de 8.000 unidades. A cada ano, a produção é multiplicada por 1,5 (fator de aumento de 50%). Portanto, para t≥1, a expressão que determina P é P(t)=8000⋅(1,5)t−1.
A alternativa que apresenta P(t)=8000⋅(1,5)t−1 está correta, pois representa exatamente o crescimento exponencial com fator 1,5 e expoente t−1 (já que no primeiro ano a produção é 8000⋅(1,5)0=8000).
As demais alternativas estão incorretas:
- A que apresenta P(t)=0,5⋅t−1+8000 sugere um crescimento linear com coeficiente 0,5, o que não corresponde ao aumento percentual de 50% ao ano.
- A que apresenta P(t)=50⋅t−1+8000 também é linear, com coeficiente 50, sem relação com o crescimento exponencial.
- A que apresenta P(t)=4000⋅t−1+8000 é linear, com coeficiente 4000, e não representa o crescimento percentual.
- A que apresenta P(t)=8000⋅(0,5)t−1 utiliza fator 0,5, que indicaria redução de 50% ao ano, e não aumento.