Pregunta de Matemática e suas Tecnologias #019e5c07

O maquinista ganha R$ 100,00 por viagem e só pode viajar a cada 4 dias. Sua primeira viagem foi em 1º de janeiro. Ele estará de férias de 1º a 10 de junho, sem poder viajar. O ano tem 365 dias. Para maximizar o ganho, ele deve fazer o maior número possível de viagens, respeitando o intervalo de 4 dias e o período de férias.

Primeiro, calculamos o número total de dias disponíveis no ano: 365 dias. A primeira viagem é no dia 1º de janeiro (dia 1). As viagens ocorrem a cada 4 dias, então as datas das viagens são: 1, 5, 9, ... (progressão aritmética de razão 4). O número máximo de viagens sem considerar férias seria o maior $n$ tal que $1+4(n-1)\le 365$, ou seja, $4n-3\le 365\Rightarrow 4n\le 368\Rightarrow n\le 92$. Portanto, no máximo 92 viagens.

Agora, consideramos as férias: de 1º a 10 de junho. Precisamos saber quais dias do ano correspondem a esse período. Janeiro tem 31 dias, fevereiro 28 (ano não bissexto), março 31, abril 30, maio 31. Até 31 de maio, temos $31+28+31+30+31=151$ dias. Então 1º de junho é o dia 152, e 10 de junho é o dia 161. Portanto, as férias abrangem os dias 152 a 161 inclusive.

O maquinista não pode viajar nesses dias. Precisamos verificar se alguma viagem programada cairia nesse período. As viagens ocorrem nos dias $1+4(k-1)$ para $k=1,2,...$. Vamos encontrar se existe $k$ tal que $152\le 1+4(k-1)\le 161$. Isso equivale a $151\le 4(k-1)\le 160$, ou $37,75\le k-1\le 40$, ou $38,75\le k\le 41$. Como $k$ é inteiro, $k=39,40,41$ caem nesse intervalo? Verificando: para $k=39$, dia $1+4\ast 38=153$ (dentro de 152-161); $k=40$, dia $1+4\ast 39=157$ (dentro); $k=41$, dia $1+4\ast 40=161$ (dentro). Portanto, as viagens de números 39, 40 e 41 cairiam durante as férias. Como ele não pode viajar nesses dias, essas três viagens são perdidas. Assim, o número máximo de viagens que ele pode fazer é $92-3=89$.

Portanto, a resposta correta é 89 viagens.

As demais alternativas estão incorretas: 37 é muito menor que o possível; 51 também; 88 seria se apenas uma viagem fosse perdida; 91 seria se apenas uma viagem fosse perdida ou se o cálculo inicial estivesse errado.