Pregunta de Matemática e suas Tecnologias #019e5c0e
A população brasileira sabe, pelo menos intuitivamente, que a probabilidade de acertar as seis dezenas da mega sena não é zero, mas é quase. Mesmo assim, milhões de pessoas são atraídas por essa loteria, especialmente quando o prêmio se acumula em valores altos. Até junho de 2009, cada aposta de seis dezenas, pertencentes ao conjunto {01, 02, 03, ..., 59, 60}, custava R$ 1,50.
Considere que uma pessoa decida apostar exatamente R$ 126,00 e que esteja mais interessada em acertar apenas cinco das seis dezenas da mega sena, justamente pela dificuldade desta última. Nesse caso, é melhor que essa pessoa faça 84 apostas de seis dezenas diferentes, que não tenham cinco números em comum, do que uma única aposta com nove dezenas, porque a probabilidade de acertar a quina no segundo caso em relação ao primeiro é, aproximadamente,
1/2 vez menor.
2 1/2 vezes menor.
4 vezes menor.
9 vezes menor.
14 vezes menor.
Explicación Oficial / Explicaciones de la Comunidad
A questão compara duas estratégias de aposta na Mega Sena: fazer 84 apostas de seis dezenas (cada uma custando R1,50,totalizandoR 126,00) ou uma única aposta de nove dezenas (que também custa R126,00,poisoprec\codeumaapostadenovedezenaseˊR 126,00). O objetivo é acertar a quina (cinco números).
Cálculo da probabilidade no primeiro caso (84 apostas de seis dezenas):
Em uma aposta de seis dezenas, a probabilidade de acertar a quina é:
[
P_1 = \frac{\binom{6}{5} \cdot \binom{54}{1}}{\binom{60}{6}} = \frac{6 \cdot 54}{50.063.860} = \frac{324}{50.063.860} \approx 6,47 \times 10^{-6}
]
Como são 84 apostas independentes (e o enunciado diz que elas não têm cinco números em comum, garantindo independência), a probabilidade total é:
[
P_{84} = 84 \cdot P_1 = 84 \cdot \frac{324}{50.063.860} = \frac{27.216}{50.063.860} \approx 5,44 \times 10^{-4}
]
Cálculo da probabilidade no segundo caso (uma aposta de nove dezenas):
Em uma aposta de nove dezenas, a probabilidade de acertar a quina é:
[
P_9 = \frac{\binom{9}{5} \cdot \binom{51}{1}}{\binom{60}{9}} = \frac{126 \cdot 51}{\binom{60}{9}}
]
Calculando (960)=9!51!60!=5.005.386.000 aproximadamente. Então:
[
P_9 = \frac{126 \cdot 51}{5.005.386.000} = \frac{6.426}{5.005.386.000} \approx 1,284 \times 10^{-6}
]
Comparação:
Razão entre as probabilidades:
[
\frac{P_{84}}{P_9} = \frac{27.216/50.063.860}{6.426/5.005.386.000} = \frac{27.216}{50.063.860} \cdot \frac{5.005.386.000}{6.426} \approx 4,23
]
Ou seja, a probabilidade no primeiro caso é aproximadamente 4 vezes maior que no segundo. Portanto, a probabilidade no segundo caso é cerca de 4 vezes menor que no primeiro.
Análise das alternativas:
- A alternativa que afirma ser 1/2 vez menor está incorreta, pois a razão é aproximadamente 4, não 0,5.
- A alternativa que afirma ser 2 1/2 vezes menor está incorreta, pois a razão é aproximadamente 4, não 2,5.
- A alternativa que afirma ser 4 vezes menor está correta, conforme os cálculos.
- A alternativa que afirma ser 9 vezes menor está incorreta, pois a razão é aproximadamente 4, não 9.
- A alternativa que afirma ser 14 vezes menor está incorreta, pois a razão é aproximadamente 4, não 14.