Pregunta de Matemática e suas Tecnologias #019e5c0e

A questão envolve o cálculo do Indicador do CadÚnico (ICadÚnico), definido como a média aritmética entre a taxa de cobertura qualificada (TC) e a taxa de atualização (TA). Temos $TC=\frac{NV}{NF}$ e $TA=\frac{NA}{NV}$, onde NV é o número de cadastros válidos, NF é o número de famílias estimadas e NA é o número de cadastros atualizados. O ICadÚnico é dado por $IC=\frac{TC+TA}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{NV}{NF}+\frac{NA}{NV}\right)$.

Inicialmente, IC = 0,6. Depois, dobrando NF (ou seja, NF' = 2NF), o IC cai para 0,5. Além disso, sabemos que NA + NV = 3600.

Vamos escrever as equações:

1. $0,6=\frac{1}{2}\left(\frac{NV}{NF}+\frac{NA}{NV}\right)$ → $\frac{NV}{NF}+\frac{NA}{NV}=1,2$.

2. Com NF dobrado: $0,5=\frac{1}{2}\left(\frac{NV}{2NF}+\frac{NA}{NV}\right)$ → $\frac{NV}{2NF}+\frac{NA}{NV}=1,0$.

Subtraindo a segunda equação da primeira:
$\left(\frac{NV}{NF}+\frac{NA}{NV}\right)-\left(\frac{NV}{2NF}+\frac{NA}{NV}\right)=1,2-1,0$ → $\frac{NV}{NF}-\frac{NV}{2NF}=0,2$ → $\frac{NV}{2NF}=0,2$ → $\frac{NV}{NF}=0,4$.

Substituindo $\frac{NV}{NF}=0,4$ na primeira equação:
$0,4+\frac{NA}{NV}=1,2$ → $\frac{NA}{NV}=0,8$.

Temos então $NV=0,4NF$ e $NA=0,8NV=0,8\cdot 0,4NF=0,32NF$.

Usando NA + NV = 3600:
$0,32NF+0,4NF=3600$ → $0,72NF=3600$ → $NF=\frac{3600}{0,72}=5000$.

Portanto, NF = 5000. A alternativa que indica 5.000 está correta.

As demais alternativas (10.000, 7.500, 4.500, 3.000) não satisfazem as condições do problema, pois levariam a valores inconsistentes para NV e NA ou não reproduziriam os ICadÚnico dados.