Pregunta de Matemática e suas Tecnologias #019e5c0f
Fractal (do latim fractus, fração, quebrado) — objeto que pode ser dividido em partes que possuem semelhança com o objeto inicial. A geometria fractal, criada no século XX, estuda as propriedades e o comportamento dos fractais — objetos geométricos formados por repetições de padrões similares.
O triângulo de Sierpinski, uma das formas elementares da geometria fractal, pode ser obtido por meio dos seguintes passos:
- comece com um triângulo equilátero (figura 1);
- construa um triângulo em que cada lado tenha a metade do tamanho do lado do triângulo anterior e faça três cópias;
- posicione essas cópias de maneira que cada triângulo tenha um vértice comum com um dos vértices de cada um dos outros dois triângulos, conforme ilustra a figura 2;
- repita sucessivamente os passos 2 e 3 para cada cópia dos triângulos obtidos no passo 3 (figura 3).
De acordo com o procedimento descrito, a figura 4 da seqüência apresentada acima é
Imagem de um triângulo de Sierpinski com 9 triângulos pretos e 4 buracos.
Imagem de um triângulo de Sierpinski com 27 triângulos pretos e 13 buracos.
Imagem de um triângulo de Sierpinski com 27 triângulos pretos e 9 buracos.
Imagem de um triângulo de Sierpinski com 9 triângulos pretos e 13 buracos.
Imagem de um triângulo de Sierpinski com 81 triângulos pretos e 40 buracos.
Explicación Oficial / Explicaciones de la Comunidad
A figura 4 corresponde à quarta iteração do triângulo de Sierpinski. Na primeira iteração (figura 1), há 1 triângulo preto. Na segunda (figura 2), o triângulo original é dividido em 4 triângulos congruentes (com lado metade) e o central é retirado, resultando em 3 triângulos pretos. Na terceira (figura 3), cada um dos 3 triângulos pretos é subdividido da mesma forma, gerando 3×3=9 triângulos pretos. Na quarta iteração (figura 4), cada um dos 9 triângulos pretos é subdividido, resultando em 9×3=27 triângulos pretos. O número de buracos (triângulos vazios) segue a sequência: 0, 1, 4, 13, ... (cada iteração adiciona 3n−1 buracos, onde n é o número da iteração a partir da segunda). Para a quarta iteração, o total de buracos é 1+3+9=13. Portanto, a figura 4 possui 27 triângulos pretos e 13 buracos. As demais alternativas apresentam contagens incorretas: a opção A tem 9 triângulos (terceira iteração), a opção C tem 27 triângulos mas 9 buracos (número errado), a opção D tem 9 triângulos e 13 buracos (inconsistente), e a opção E tem 81 triângulos (quinta iteração).