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Em muitas regiões do Estado do Amazonas, o volume de madeira de uma árvore cortada é avaliado de acordo com uma prática dessas regiões:
I - Dá-se uma volta completa em torno do tronco com um barbante.
II - O barbante é dobrado duas vezes pela ponta e, em seguida, seu comprimento é medido com fita métrica.
III - O valor obtido com essa medida é multiplicado por ele mesmo e depois multiplicado pelo comprimento do tronco. Esse é o volume estimado de madeira.
Outra estimativa pode ser obtida pelo cálculo formal do volume do tronco, considerando-o um cilindro perfeito.
A diferença entre essas medidas é praticamente equivalente às perdas de madeira no processo de corte para comercialização.

Para resolver o problema, devemos comparar o volume estimado pelo método prático com o volume real (formal) de um cilindro.

Volume Real ( $V_{real}$ ):
Considerando o tronco como um cilindro perfeito de raio da base $R$ e altura (comprimento) $h$ , o volume real é dado por:
$V_{real} = π \cdot R^{2} \cdot h$
Volume Estimado ( $V_{est}$ ):

O barbante dá uma volta completa no tronco, logo seu comprimento é igual ao perímetro da circunferência da base: $C = 2 π \cdot R$ .
O barbante é dobrado duas vezes pela ponta, o que significa que ele é dividido em $4$ partes iguais. O comprimento medido será:
$L = \frac{C}{4} = \frac{2 π \cdot R}{4} = \frac{π \cdot R}{2}$
Esse valor é multiplicado por si mesmo e depois pelo comprimento do tronco $h$ :
$V_{est} = L^{2} \cdot h = (\frac{π \cdot R}{2})^{2} \cdot h = \frac{π ^{2} \cdot R ^{2}}{4} \cdot h$

Cálculo da Perda Relativa:
A perda de madeira é a diferença entre o volume real e o volume estimado, expressa em relação ao volume real:
$Perda = \frac{V _{real} - V _{est}}{V _{real}} = \frac{π \cdot R ^{2} \cdot h - \frac{π ^{2} \cdot R ^{2}}{4} \cdot h}{π \cdot R ^{2} \cdot h}$

Simplificando os termos comuns ( $π \cdot R^{2} \cdot h$ ):
$Perda = 1 - \frac{π}{4}$

Adotando a aproximação padrão para $π \approx 3, 14$ :
$Perda \approx 1 - \frac{3 , 14}{4} = 1 - 0, 785 = 0, 215 = 21, 5%$

Portanto, as perdas são da ordem de $22%$ .

Análise das alternativas:

A alternativa que indica $22%$ está correta, pois o cálculo da perda percentual resulta em aproximadamente $21, 5%$ , que arredondado para o valor inteiro mais próximo é $22%$ .
A alternativa que indica $30%$ está incorreta, pois superestima significativamente as perdas reais calculadas.
A alternativa que indica $15%$ está incorreta, pois subestima as perdas reais.
A alternativa que indica $12%$ está incorreta, pois apresenta um valor muito abaixo do calculado.
A alternativa que indica $5%$ está incorreta, pois representa uma perda extremamente baixa que não condiz com a diferença entre as fórmulas.

Pregunta de Matemática e suas Tecnologias #019e5c12

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