Pregunta de Matemática e suas Tecnologias #019e5bdd

1. Compreensão do Contexto Geral

A questão aborda o cálculo de volumes de sólidos geométricos espaciais (cilindro reto e esfera) e a aplicação desses conceitos em um problema prático de conversão de unidades, capacidade volumétrica e empacotamento com restrições discretas (números inteiros de pacotes e balões).

Para a resolução, aplicam-se:

• A fórmula do volume de um cilindro circular reto: $V_{\text{cil}}=\pi R^{2}H$;
• A fórmula do volume de uma esfera: $V_{\text{esf}}=\frac{4}{3}\pi r^3$;
• A relação de proporcionalidade para o volume total de gás comprimido e a condição de contorno sobre pacotes inteiros.

2. Justificativa da Alternativa Correta

Passo 1: Determinar o volume do cilindro

• O recipiente cilíndrico tem diâmetro da base $D=40\text{ cm}$, logo seu raio é $R=20\text{ cm}$.
• A altura é $H=1\text{ m}=100\text{ cm}$.
• O volume interno do recipiente é dado por:
  $V_{\text{cilindro}}=\pi \cdot R^2\cdot H=\pi \cdot (20{)}^2\cdot 100=\pi \cdot 400\cdot 100=40000\pi {\text{ cm}}^3$

Passo 2: Determinar o volume total de gás hélio disponível

• O volume total adquirido equivale a $12$ vezes o volume do cilindro:
  $V_{\text{total}}=12\cdot V_{\text{cilindro}}=12\cdot 40000\pi =480000\pi {\text{ cm}}^3$

Passo 3: Determinar o volume de cada balão esférico

• Cada balão tem diâmetro $d=30\text{ cm}$, portanto raio $r=15\text{ cm}$.
• O volume de gás contido em um balão cheio é:
  $V_{\text{bala˜o}}=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi \cdot (15{)}^3=\frac{4}{3}\pi \cdot 3375=4500\pi {\text{ cm}}^3$

Passo 4: Calcular a quantidade de balões necessária

• O número de balões $n$ preenchidos pelo gás é:
  $n=\frac{V_{\text{total}}}{V_{\text{bala˜o}}}=\frac{480000\pi }{4500\pi }=\frac{4800}{45}=\frac{320}{3}\approx 106,67\text{ balo˜es}$

Como o vendedor quer utilizar todo o volume de gás hélio adquirido, $106$ balões seriam insuficientes, restando gás hélio sem uso. Portanto, são necessários pelo menos $107$ balões para que todo o gás seja alocado.

Passo 5: Calcular o número mínimo de pacotes

• Como os balões são vendidos exclusivamente em pacotes fechados de $5$ unidades:
  $\text{Pacotes}=\frac{107}{5}=21,4$

Sendo a compra restrita a pacotes inteiros, deve-se arredondar para o próximo número inteiro superior:
$\text{Mıˊnimo de pacotes}=22$

Com $22$ pacotes ($110$ balões), o comerciante garante balões suficientes para esgotar todo o gás adquirido. Portanto, a alternativa correta é a 22.

3. Análise dos Distratores (Alternativas Incorretas)

• 11: Incorreta. Esse valor é obtido caso o candidato cometa o equívoco clássico de utilizar os diâmetros ($40\text{ cm}$ e $30\text{ cm}$) diretamente nas fórmulas no lugar dos raios. Isso faz a razão volumétrica ser reduzida à metade: $\frac{1920000\pi }{36000\pi }\approx 53,33$ balões, resultando em $\frac{54}{5}=10,8⟹11$ pacotes.
• 12: Incorreta. Resulta de erros de arredondamento intermediários ou da desatenção ao calcular a quantidade de balões com erro de proporcionalidade (por exemplo, aplicando indevidamente o fator multiplicativo $12$ em etapas erradas da divisão).
• 24: Incorreta. Valor decorrente de erro no cálculo do volume da esfera (como o uso indevido da fórmula da área superficial $4\pi r^2$ ajustada ou aproximações inadequadas do raio cúbico), superestimando a necessidade de pacotes.
• 25: Incorreta. Obtém-se esse valor ao superestimar o volume dos balões ou ao adotar aproximações grosseiras para $\pi$, gerando uma demanda artificial de balões que ultrapassa consideravelmente os $22$ pacotes estritamente necessários.