Pregunta de Matemática e suas Tecnologias #019e5bdd

1. Compreensão do Contexto Geral

O Índice de Massa Corporal (IMC), também conhecido como índice de Quetelet, é um parâmetro antropométrico amplamente adotado pela Organização Mundial da Saúde (OMS) para triagem e avaliação do estado nutricional de indivíduos adultos. No Sistema Internacional de Unidades (SI), a massa é uma grandeza fundamental cuja unidade é o quilograma ($\text{kg}$), enquanto o comprimento (e, por consequência, a altura) é mensurado em metros ($\text{m}$).

Do ponto de vista da análise dimensional e das grandezas derivadas, a unidade de medida de qualquer grandeza física decorre diretamente da operação algébrica que a define. Além disso, as propriedades da potenciação estabelecem que o inverso de uma potência de expoente positivo pode ser expresso como uma potência de expoente negativo, isto é, $\frac{1}{x^n}=x^{-n}$.

2. Justificativa da Alternativa Correta

Conforme estabelecido pelo enunciado, o cálculo do IMC é expresso matematicamente pela razão entre a massa corporal ($m$) e o quadrado da altura ($h$):

$\text{IMC}=\frac{m}{h^2}$

Substituindo as respectivas unidades de medida de cada grandeza adotadas no texto ($m$ em $\text{kg}$ e $h$ em $\text{m}$), obtemos a unidade dimensional correspondente:

$[\text{IMC}]=\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^2}$

Aplicando a propriedade das potências com expoente negativo ($\frac{1}{{\text{m}}^2}={\text{m}}^{-2}$), podemos reescrever a expressão fracionária na forma de produto:

$[\text{IMC}]=\text{kg}\cdot {\text{m}}^{-2}$

Portanto, a alternativa correta é $\text{kg}\cdot {\text{m}}^{-2}$.

3. Análise dos Distratores (Alternativas Incorretas)

• $\text{kg}\cdot {\text{m}}^{-1}$: Incorreta. Essa unidade equivale à razão $\frac{\text{kg}}{\text{m}}$, correspondendo à divisão da massa pela altura em sua primeira potência (densidade linear de massa), e não pelo quadrado da altura.
• $\text{kg}\cdot {\text{m}}^2$: Incorreta. Essa unidade representa o produto entre a massa e o quadrado da altura ($m\cdot h^2$), o que caracterizaria uma grandeza de momento de inércia, e não a razão (divisão) definida para o IMC.
• $\text{m}\cdot {\text{kg}}^{-1}$: Incorreta. Essa expressão equivale a $\frac{\text{m}}{\text{kg}}$, ou seja, a razão inversa entre a altura e a massa, além de não elevar a altura ao quadrado.
• ${\text{m}}^2\cdot {\text{kg}}^{-1}$: Incorreta. Essa unidade representa a razão $\frac{{\text{m}}^2}{\text{kg}}$, correspondendo ao recíproco (inverso multiplicativo) do IMC, isto é, o quadrado da altura dividido pela massa.