Pregunta de Matemática e suas Tecnologias #019e5bdd

1. Compreensão do Contexto Geral

A cobrança de serviços públicos essenciais, como o fornecimento de água e saneamento, frequentemente utiliza estruturas tarifárias em faixas ou com franquias mínimas de consumo. Esse modelo atende a dois objetivos fundamentais: garantir uma receita mínima para cobrir os custos fixos de infraestrutura e manutenção da rede e, simultaneamente, desestimular o desperdício de recursos naturais ao aplicar uma sobretaxa a partir de um patamar pré-determinado.

Do ponto de vista da modelagem matemática, tarifas desse tipo são descritas por funções definidas por mais de uma sentença (funções por partes). Para um consumo que ultrapassa o limite da franquia de consumo básico ($x>5{\text{ m}}^3$), a cobrança assume o comportamento de uma função afim, em que o valor pago depende linearmente do volume consumido que excede a franquia.

2. Justificativa da Alternativa Correta

Seja $x$ o volume total mensal consumido, em metros cúbicos (${\text{m}}^3$), sob a condição de que $x>5$.

1. Determinação do volume excedente: Como a franquia básica é de $5{\text{ m}}^3$, o volume que ultrapassa essa faixa de isenção é dado por:
   $\Delta x=x-5$

2. Montagem da estrutura de custo: O consumidor paga a tarifa mínima fixa de R$ 40{,}00maisR$ 12{,}00 para cada metro cúbico excedente:
   $V(x)=40+12\cdot (x-5)$

3. Simplificação algébrica: Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação:
   $V(x)=40+12x-60$
   $V(x)=12x-20$

Assim, a expressão algébrica que define o valor mensal cobrado para $x>5$ é $V=12x-20$.

3. Análise dos Distratores (Alternativas Incorretas)

• $V=12x-40$: Incorreta. Este modelo decorre de um equívoco algébrico ao subtrair a taxa fixa da parcela variável ($12x-40$) sem considerar adequadamente o produto $12\cdot 5=60$ advindo da franquia.
• $V=12x-60$: Incorreta. Este resultado ocorre caso o estudante aplique a distributiva em $12(x-5)=12x-60$ e se esqueça de adicionar a tarifa fixa inicial de R$ 40{,}00.
• $V=12x$: Incorreta. Esta expressão representa uma relação de proporcionalidade direta pura, na qual se cobra simplesmente R$ 12{,}00 por todo metro cúbico consumido, ignorando a franquia e a taxa fixa estipuladas no enunciado.
• $V=52x$: Incorreta. Este valor resulta de uma soma indevida entre a taxa fixa de R$ 40{,}00e a taxa variável deR$ 12{,}00($40+12=52$), multiplicando esse total pelo volume$x$, como se cada metro cúbico custasseR$ 52{,}00.