Pregunta de Ciências da Natureza e suas Tecnologias #019e5bf0

A questão trata de um tubo sonoro fechado, onde as frequências de ressonância são dadas por $f_n=\frac{n\cdot v}{4L}$, com $n$ ímpar ($1$, $3$, $5$, ...). A menor frequência (fundamental) é $f_1=\frac{v}{4L}=135\text{ Hz}$. A próxima frequência (terceiro harmônico) é $f_3=\frac{3v}{4L}=3\times 135=405\text{ Hz}$. No entanto, o enunciado pede a "próxima frequência de ressonância" após a menor, que seria a segunda frequência medida. Em tubos fechados, as frequências são múltiplos ímpares da fundamental: $f_1=135\text{ Hz}$, $f_3=405\text{ Hz}$, $f_5=675\text{ Hz}$, etc. Mas as alternativas são valores próximos a $135\text{ Hz}$, sugerindo que o examinador considerou que a "próxima frequência" é a frequência do segundo harmônico ($n=2$) de um tubo aberto? Ou talvez um erro de interpretação. Reanalisando: a questão diz "a menor frequência de ressonância que o aparelho mediu foi $135\text{ Hz}$" e "a próxima frequência de ressonância que será medida". Em tubos fechados, as frequências são $f_n=\frac{n\cdot v}{4L}$ com $n$ ímpar. A fundamental é $135\text{ Hz}$. A próxima frequência ($n=3$) seria $3\times 135=405\text{ Hz}$, que não está nas opções. Portanto, a interpretação correta é que a cavidade se comporta como um tubo fechado, mas a questão pede a frequência do segundo modo ($n=2$) se considerarmos que as ressonâncias ocorrem para todos os inteiros? Isso não é típico. Outra possibilidade: a questão pode estar considerando que a cavidade é um tubo sonoro fechado, mas a "próxima frequência" após a fundamental é a do primeiro harmônico ($n=2$) se o tubo fosse aberto? Não. Vamos calcular a profundidade: $L=\frac{v}{4f_1}=\frac{360}{4\times 135}=\frac{360}{540}=0,\mathrm{666...}\text{ m}$. Isso não é $30\text{ m}$. A profundidade requerida é $30\text{ m}$. Então a frequência fundamental para $30\text{ m}$ seria $f_1=\frac{360}{4\times 30}=\frac{360}{120}=3\text{ Hz}$. Isso não faz sentido. Talvez a cavidade seja um tubo fechado, mas a menor frequência medida ($135\text{ Hz}$) não é a fundamental? O enunciado diz "a menor frequência de ressonância que o aparelho mediu foi $135\text{ Hz}$". Se a profundidade é $30\text{ m}$, a fundamental seria $f_1=\frac{v}{4L}=\frac{360}{120}=3\text{ Hz}$, mas o aparelho mediu $135\text{ Hz}$, que é muito maior. Isso indica que a cavidade não tem $30\text{ m}$? O problema diz: "Dois engenheiros estão verificando se uma cavidade perfurada no solo está de acordo com o planejamento de uma obra, cuja profundidade requerida é de $30\text{ m}$." Eles medem a menor frequência de ressonância como $135\text{ Hz}$. Se a profundidade estiver de acordo ($30\text{ m}$), qual será a próxima frequência? Isso sugere que a cavidade real tem profundidade diferente de $30\text{ m}$, mas eles querem saber qual seria a próxima frequência se a profundidade fosse $30\text{ m}$. Então, para $L=30\text{ m}$, a fundamental é $3\text{ Hz}$, mas a menor frequência medida foi $135\text{ Hz}$, então a cavidade real tem $L=\frac{v}{4\cdot 135}=\frac{360}{540}=0,6667\text{ m}$. Isso não é $30\text{ m}$. Portanto, a questão está mal formulada? Ou a interpretação é que a cavidade se comporta como um tubo fechado, mas a "menor frequência" medida é a primeira ressonância, e a profundidade requerida é $30\text{ m}$, então a velocidade do som é $360\text{ m/s}$, e a frequência fundamental para $30\text{ m}$ seria $3\text{ Hz}$, mas eles mediram $135\text{ Hz}$, então a cavidade não está de acordo. O enunciado pergunta: "Se a profundidade estiver de acordo com o projeto, qual será o valor da próxima frequência de ressonância que será medida?" Ou seja, supondo que a profundidade seja exatamente $30\text{ m}$, qual a próxima frequência após a fundamental? A fundamental seria $3\text{ Hz}$, a próxima (terceiro harmônico) seria $9\text{ Hz}$, que não está nas opções. Isso não se encaixa. Talvez a cavidade seja um tubo aberto? Em tubos abertos, as frequências são $f_n=\frac{n\cdot v}{2L}$, com $n$ inteiro. A fundamental seria $f_1=\frac{v}{2L}=\frac{360}{60}=6\text{ Hz}$. A próxima seria $12\text{ Hz}$. Também não. Outra possibilidade: a questão pode estar considerando que a cavidade é um tubo fechado, mas a "menor frequência" medida ($135\text{ Hz}$) é na verdade a frequência de algum harmônico, não a fundamental. Por exemplo, se a profundidade é $30\text{ m}$, a fundamental é $3\text{ Hz}$, mas eles mediram $135\text{ Hz}$, que é $45$ vezes a fundamental ($n=45$, ímpar). Isso é improvável. A abordagem mais comum em questões de ENEM é: para um tubo fechado, as frequências são $f_n=\frac{n\cdot v}{4L}$ com $n$ ímpar. Dada a menor frequência (fundamental) e a velocidade, calcula-se $L$. Depois, a próxima frequência (terceiro harmônico) é $3$ vezes a fundamental. Mas as opções são próximas a $135\text{ Hz}$, sugerindo que a próxima frequência é apenas ligeiramente maior. Isso indica que a questão pode estar tratando de batimento ou algo assim? Não. Releia: "Dois engenheiros estão verificando se uma cavidade perfurada no solo está de acordo com o planejamento de uma obra, cuja profundidade requerida é de $30\text{ m}$. O teste é feito por um dispositivo denominado oscilador de áudio de frequência variável, que permite relacionar a profundidade com os valores da frequência de duas ressonâncias consecutivas, assim como em um tubo sonoro fechado." Isso sugere que eles medem duas frequências de ressonância consecutivas (como $n$ e $n+2$, já que são ímpares). A menor frequência medida foi $135\text{ Hz}$. Se a profundidade estiver de acordo ($30\text{ m}$), qual será a próxima frequência? Ou seja, eles mediram uma frequência ($135\text{ Hz}$) que corresponde a algum harmônico ($n$) para a profundidade real. Se a profundidade fosse $30\text{ m}$, a frequência desse mesmo harmônico seria diferente? Não, a questão parece pedir a próxima frequência que seria medida se a profundidade fosse $30\text{ m}$, ou seja, a frequência do harmônico seguinte ($n+2$) para $L=30\text{ m}$. Mas para isso precisamos saber qual harmônico é o $135\text{ Hz}$. Vamos calcular $L$ real a partir de $135\text{ Hz}$: $L=\frac{v}{4f}=\frac{360}{4\cdot 135}=\frac{360}{540}=\frac{2}{3}\text{ m}\approx 0,667\text{ m}$. Isso não é $30\text{ m}$. Então a cavidade real tem profundidade de $0,667\text{ m}$, mas o projeto requer $30\text{ m}$. Se a profundidade fosse $30\text{ m}$, a frequência fundamental seria $3\text{ Hz}$. Mas a menor frequência medida foi $135\text{ Hz}$, então eles não mediram a fundamental, mas sim um harmônico superior. Para $L=30\text{ m}$, a frequência do harmônico de ordem $n$ é $f_n=\frac{n\cdot v}{4L}=\frac{n\cdot 360}{120}=3n\text{ Hz}$. Se eles mediram $135\text{ Hz}$, então $n=\frac{135}{3}=45$. Isso é ímpar, ok. A próxima frequência (próximo harmônico ímpar) seria $n=47$: $f=3\cdot 47=141\text{ Hz}$. Isso corresponde à alternativa C ($141\text{ Hz}$). Portanto, a interpretação correta é: a cavidade real tem profundidade de $0,667\text{ m}$, mas a pergunta é hipotética: se a profundidade fosse $30\text{ m}$ (de acordo com o projeto), e considerando que a menor frequência medida ($135\text{ Hz}$) corresponde a um harmônico de ordem $n$ (que seria $45$ para $L=30\text{ m}$), então a próxima frequência (harmônico de ordem $n+2=47$) seria $141\text{ Hz}$. Assim, a resposta correta é $141\text{ Hz}$.

Explicação: Em um tubo sonoro fechado, as frequências de ressonância são múltiplos ímpares da frequência fundamental: $f_n=(2k-1)\cdot f_1$, com $k=1,2,3,...$ A menor frequência medida ($135\text{ Hz}$) corresponde a um harmônico de ordem ímpar. Se a profundidade fosse $30\text{ m}$, a fundamental seria $f_1=\frac{v}{4L}=\frac{360}{120}=3\text{ Hz}$. Assim, $135\text{ Hz}=45\cdot 3\text{ Hz}$, ou seja, o $45^{\circ }$ harmônico ($k=23$? na verdade $2k-1=45⟹k=23$). A próxima frequência seria o $47^{\circ }$ harmônico: $47\cdot 3=141\text{ Hz}$. Portanto, a alternativa que apresenta $141\text{ Hz}$ está correta. As demais alternativas ($137$, $138$, $144$, $159\text{ Hz}$) não correspondem a múltiplos ímpares de $3\text{ Hz}$ ($137/3\approx 45,67$; $138/3=46$ (par); $144/3=48$ (par); $159/3=53$ (ímpar, mas $53\cdot 3=159$, que seria o $53^{\circ }$ harmônico, não o próximo após $45$). O próximo ímpar após $45$ é $47$, que dá $141\text{ Hz}$.