Pregunta de Matemática e suas Tecnologias #019e5bf0

Enunciado de la Pregunta

Matemática e suas Tecnologias

#Geometria Espacial

Medio

Um processo de aeração, que consiste na introdução de ar num líquido, acontece do seguinte modo: uma bomba $B$ retira o líquido de um tanque $T_{1}$ e o faz passar pelo aerador $A_{1}$ , que aumenta o volume do líquido em $15%$ , e em seguida pelo aerador $A_{2}$ , ganhando novo aumento de volume de $10%$ . Ao final, ele fica armazenado num tanque $T_{2}$ , de acordo com a figura.

$Diagrama de fluxo do processo de aeração. À esquerda, o tanque $T_1$, um prisma retangular com base de comprimento $c$ e largura $L$, contendo líquido até uma altura $x$. Uma bomba $B$ conecta $T_1$ ao aerador $A_1$, que é um cilindro vertical com seta indicando entrada de ar. Do aerador $A_1$, o líquido segue para o aerador $A_2$, também cilíndrico com entrada de ar. Finalmente, o líquido chega ao tanque $T_2$, um prisma retangular com base de comprimento $\frac{c}{2}$ e largura $2L$, onde o líquido atinge uma altura $y$.$

Os tanques $T_{1}$ e $T_{2}$ são prismas retos de bases retangulares, sendo que a base de $T_{1}$ tem comprimento $c$ e largura $L$ , e a base de $T_{2}$ tem comprimento $\frac{c}{2}$ e largura $2 L$ .
Para finalizar o processo de aeração sem derramamento do líquido em $T_{2}$ , o responsável deve saber a relação entre a altura da coluna de líquido que saiu de $T_{1}$ , denotada por $x$ , e a altura da coluna de líquido que chegou a $T_{2}$ , denotada por $y$ .

Disponível em: www.dec.ufcg.edu.br. Acesso em: 21 abr. 2015.

A equação que relaciona as medidas das alturas $y$ e $x$ é dada por

$y = 1, 265 x$

Correcto

$y = 1, 250 x$

$y = 1, 150 x$

$y = 1, 125 x$

$y = x$

Explicación Oficial / Explicaciones de la Comunidad

O volume inicial no tanque $T_{1}$ é dado por $V_{1} = \overset{a}{ˊ} rea da base \cdot altura = (c \cdot L) \cdot x$ . Após passar pelo aerador $A_{1}$ , o volume aumenta em $15%$ , ou seja, multiplica-se por $1, 15$ . Em seguida, no aerador $A_{2}$ , há um novo aumento de $10%$ , multiplicando-se por $1, 10$ . Portanto, o volume final que chega a $T_{2}$ é $V_{2} = V_{1} \cdot 1, 15 \cdot 1, 10 = V_{1} \cdot 1, 265 = 1, 265 \cdot c \cdot L \cdot x$ . O tanque $T_{2}$ tem base retangular com comprimento $\frac{c}{2}$ e largura $2 L$ , logo sua área da base é $(\frac{c}{2}) \cdot (2 L) = c \cdot L$ . Assim, o volume em $T_{2}$ é $V_{2} = \overset{a}{ˊ} rea da base \cdot y = c \cdot L \cdot y$ . Igualando as expressões para $V_{2}$ : $c \cdot L \cdot y = 1, 265 \cdot c \cdot L \cdot x$ . Cancelando $c \cdot L$ (que é diferente de zero), obtemos $y = 1, 265 x$ . As demais alternativas resultariam de cálculos incorretos: por exemplo, $y = 1, 250 x$ viria de somar os percentuais ( $15% + 10% = 25%$ ) em vez de multiplicar; $y = 1, 150 x$ consideraria apenas o primeiro aumento; $y = 1, 125 x$ consideraria apenas o segundo aumento; $y = x$ ignoraria os aumentos.

Pregunta de Matemática e suas Tecnologias #019e5bf0

Explicación Oficial / Explicaciones de la Comunidad

Explicação Oficial