Para a comunicação entre dois navios é utilizado um... | Pregunta de Matemática e suas Tecnologias

Para a comunicação entre dois navios é utilizado um sistema de codificação com base em valores numéricos. Para isso, são consideradas as operações triângulo Δ e estrela *, definidas sobre o conjunto dos números reais por xΔy = x² + xy - y² e x * y = xy + x.

O navio que deseja enviar uma mensagem deve fornecer um valor de entrada b, que irá gerar um valor de saída, a ser enviado ao navio receptor, dado pela soma das duas maiores soluções da equação (aΔb)*(bΔa) = 0. Cada valor possível de entrada e saída representa uma mensagem diferente já conhecida pelos dois navios.

Um navio deseja enviar ao outro a mensagem "ATENÇÃO!". Para isso, deve utilizar o valor de entrada b = 1.

Para resolver esta questão, devemos seguir passo a passo a definição das novas operações matemáticas apresentadas e aplicá-las à equação fornecida, utilizando o valor de entrada $b = 1$ .

As operações são definidas por:

$x Δ y = x^{2} + x y - y^{2}$
$x * y = x y + x$ (que também pode ser escrita colocando $x$ em evidência: $x (y + 1)$ )

A equação a ser resolvida para encontrar as soluções de $a$ é:
$(a Δ b) * (b Δ a) = 0$

Dado que o valor de entrada é $b = 1$ , substituímos $b$ na equação:
$(a Δ1) * (1Δ a) = 0$

Passo 1: Calcular as expressões internas do parênteses

Para $a Δ1$ :
$a Δ1 = a^{2} + a (1) - 1^{2} = a^{2} + a - 1$
Para $1Δ a$ :
$1Δ a = 1^{2} + 1 (a) - a^{2} = - a^{2} + a + 1$

Passo 2: Aplicar a operação estrela (*)

Chamando $X = a Δ1$ e $Y = 1Δ a$ , temos a equação $X * Y = 0$ .
Pela definição da operação estrela, $X * Y = X (Y + 1) = 0$ .

Substituindo $X$ e $Y$ de volta na igualdade:
$(a^{2} + a - 1) \cdot [(- a^{2} + a + 1) + 1] = 0$
$(a^{2} + a - 1) \cdot (- a^{2} + a + 2) = 0$

Para que o produto de dois fatores seja igual a zero, pelo menos um dos fatores deve ser igual a zero. Portanto, dividimos o problema em duas equações quadráticas:

Equação I:
$a^{2} + a - 1 = 0$

Utilizando a fórmula de Bhaskara:
$Δ_{1} = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 1 + 4 = 5$
$a = \frac{- 1 \pm 5}{2}$

Assim, obtemos duas soluções:
$a_{1} = \frac{- 1 + 5}{2} \approx \frac{- 1 + 2 , 236}{2} \approx 0, 618$
$a_{2} = \frac{- 1 - 5}{2} \approx \frac{- 1 - 2 , 236}{2} \approx - 1, 618$

Equação II:
$- a^{2} + a + 2 = 0 ⟹ a^{2} - a - 2 = 0$

Podemos resolver por fatoração procurando dois números cuja soma seja $1$ e o produto seja $- 2$ :
$(a - 2) (a + 1) = 0$

Assim, as outras duas soluções são:
$a_{3} = 2$
$a_{4} = - 1$

Passo 3: Identificar as duas maiores soluções

Temos o conjunto de todas as soluções para $a$ :
$S = {2, \frac{- 1 + 5}{2}, - 1, \frac{- 1 - 5}{2}}$

Analisando os valores aproximados das quatro soluções:

$a_{3} = 2$ (Maior valor positivo)
$a_{1} = \frac{- 1 + 5}{2} \approx 0, 618$ (Segundo maior valor, positivo)
$a_{4} = - 1$ (Negativo)
$a_{2} = \frac{- 1 - 5}{2} \approx - 1, 618$ (Menor valor, negativo)

Portanto, as duas maiores soluções são $2$ e $\frac{- 1 + 5}{2}$ .

Passo 4: Calcular a soma das duas maiores soluções

$Soma = 2 + \frac{- 1 + 5}{2}$

Para somar as frações, igualamos os denominadores:
$Soma = \frac{4}{2} + \frac{- 1 + 5}{2} = \frac{4 - 1 + 5}{2} = \frac{3 + 5}{2}$

Conclui-se que o valor recebido pelo receptor será (3 + √5) / 2, correspondente à alternativa E.

Pregunta de Matemática e suas Tecnologias #019f6986

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