Pregunta de Matemática e suas Tecnologias #019f6986

Para resolver este problema, devemos modelar a arrecadação do teatro como uma função matemática que dependa do desconto aplicado.

1. Definição das variáveis:
Seja $x$ o valor do desconto aplicado ao preço do ingresso (em reais). Como os donos do teatro só admitem trabalhar com valores inteiros para os ingressos, o valor do desconto $x$ também deve ser um número inteiro não negativo. Portanto, o domínio da função é discreto: $x\in \{0,1,2,\dots ,20\}$.

2. Modelagem da Função de Arrecadação:

• Preço do ingresso ($P$): O preço original é R$ 20,00. Com o desconto $x$, o novo preço será:
  $P(x)=20-x$
• Número de pessoas ($N$): Inicialmente, são 200 pessoas. A cada R$ 1,00 de desconto, o público aumenta em 40 pessoas. Logo, para um desconto $x$, o público será:
  $N(x)=200+40x$
• Arrecadação total ($A$): A arrecadação é o produto do preço do ingresso pelo número de pessoas:
  $A(x)=P(x)\cdot N(x)$
  $A(x)=(20-x)(200+40x)$
  $A(x)=4000+800x-200x-40x^2$
  $A(x)=-40x^2+600x+4000$

3. Análise da Função e do Gráfico:

• A função $A(x)=-40x^2+600x+4000$ é uma função polinomial do 2º grau (quadrática).
• Como o coeficiente do termo de maior grau ($a=-40$) é negativo, a parábola associada a essa função tem a concavidade voltada para baixo.
• Importante: Como o domínio da função está restrito a valores inteiros de $x$ ($x\in \mathbb{Z}$), o gráfico não pode ser uma curva contínua. Ele deve ser composto por pontos isolados (discretos) que pertencem a essa parábola imaginária.

Analisando as alternativas fornecidas pelas imagens:

• Os gráficos contínuos (como curvas ou retas contínuas) devem ser descartados porque o domínio é discreto.
• O único gráfico que representa pontos discretos decalcados sobre o formato de uma parábola com concavidade voltada para baixo é o gráfico correspondente à alternativa E (representado por img_P26_N05).