Pregunta de Matemática #019f69c5

Para resolver a questão, devemos calcular o número de maneiras de dividir os profissionais disponíveis em duas equipes de plantão.

Cada equipe de plantão deve conter:

• $1$ Delegado (D)
• $1$ Escrivão (E)
• $2$ Agentes (A)

O total de profissionais disponíveis é:

• $2$ Delegados
• $2$ Escrivães
• $4$ Agentes

Passo 1: Calcular as maneiras de escolher os membros da primeira equipe

• Delegados: Devemos escolher $1$ delegado dentre os $2$ disponíveis:
  $C_{2,1}=\frac{2!}{1!(2-1)!}=2$
• Escrivães: Devemos escolher $1$ escrivão dentre os $2$ disponíveis:
  $C_{2,1}=\frac{2!}{1!(2-1)!}=2$
• Agentes: Devemos escolher $2$ agentes dentre os $4$ disponíveis:
  $C_{4,2}=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{4\times 3}{2}=6$

Multiplicando as possibilidades para formar a primeira equipe:
$\text{Total para a primeira equipe}=2\times 2\times 6=24\text{ maneiras}$

Passo 2: Formação da segunda equipe
Uma vez escolhidos os membros da primeira equipe, os profissionais restantes (1 delegado, 1 escrivão e 2 agentes) formarão automaticamente a segunda equipe. Ou seja, há apenas $1$ maneira de formar a segunda equipe após a primeira ser definida.

Passo 3: Ajuste pela indistinguibilidade das equipes (Divisão em Grupos)
Como as duas equipes formadas são idênticas em estrutura e não possuem rótulos que as diferenciem (como "Equipe A" e "Equipe B", ou "Plantão de Sábado" e "Plantão de Domingo"), a ordem em que as equipes são formadas não importa.

Por exemplo, selecionar os profissionais do grupo $X$ para a primeira equipe e o grupo $Y$ para a segunda é o mesmo que selecionar o grupo $Y$ para a primeira equipe e o grupo $X$ para a segunda.

Para corrigir essa redundância (sobreposição de contagem), devemos dividir o total de possibilidades pelo fatorial do número de grupos idênticos ($2!$):
$\text{Maneiras distintas}=\frac{24}{2!}=\frac{24}{2}=12\text{ maneiras}$

Conclusão:
O enunciado afirma que o número de maneiras distintas é igual a $4!$.
Sabemos que:
$4!=4\times 3\times 2\times 1=24$

Como o número correto de maneiras distintas é $12$ (e não $24$), o item está Errado.