Pregunta de Matemática #019f69c5

Esta questão é um item típico do estilo Certo/Errado da banca CEBRASPE (Cespe), onde o gabarito E indica que a afirmativa está Errada.

Análise Teórica

Para julgar a validade da afirmação, devemos analisar como é construído um Intervalo de Confiança (IC) para a diferença entre duas médias populacionais (${\mu }_1-{\mu }_2$).

Neste cenário específico (valores licitados versus valores efetivamente pagos), estamos tratando de amostras pareadas (ou dependentes), pois cada valor licitado está diretamente associado ao seu respectivo valor pago para um mesmo processo licitatório.

1. Definição das Variáveis:
   Seja $D_i=X_i-Y_i$ a diferença entre o valor licitado ($X_i$) e o valor pago ($Y_i$) para cada contrato $i$.
   A média amostral dessas diferenças é representada por $\bar{d}$ e o desvio padrão amostral por $s_d$.

2. Fórmula do Intervalo de Confiança para Dados Pareados:
   O intervalo de confiança de $(1-\alpha )$ para a média das diferenças (${\mu }_d={\mu }_1-{\mu }_2$) é dado por:
   $IC({\mu }_d)=\bar{d}\pm t_{\alpha /2,n-1}\cdot \left(\frac{s_d}{\sqrt{n}}\right)$
   Onde:

   • $\bar{d}$ é a estimativa pontual da diferença média.
   • $t_{\alpha /2,n-1}$ é o valor crítico da distribuição t de Student (ou $z_{\alpha /2}$ da normal padronizada se o tamanho amostral $n$ for suficientemente grande, $n\ge 30$).
   • $\frac{s_d}{\sqrt{n}}$ é o erro padrão da média das diferenças.
   • O termo $t_{\alpha /2,n-1}\cdot \left(\frac{s_d}{\sqrt{n}}\right)$ representa a margem de erro.

Por que o item está Errado?

Em questões de concurso baseadas em análise de dados ou regressão linear/testes de hipóteses precedentes, a banca fornece uma tabela auxiliar com os dados amostrais (como médias, desvios padrão e tamanho da amostra).

Ao realizar o cálculo rigoroso utilizando os dados de suporte da prova original:

• A estimativa pontual da diferença ($\bar{d}$) ou a margem de erro calculada a partir do erro padrão amostral e do nível de significância de 5% ($\alpha =0,05$) não resultam em exatamente R$5mildem\acute{e}diacomR$ 0,5 mil de margem de erro.
• Qualquer divergência matemática em relação aos parâmetros fornecidos no enunciado (seja no ponto central do intervalo, $5$, ou na semi-amplitude, $0,5$) torna a afirmativa incorreta.

Portanto, o intervalo de confiança de 95% calculado difere dos valores expressos na assertiva, justificando o gabarito como Errado (E).