Pregunta de Matemática #019f69c6

Para analisar a afirmação, devemos determinar a taxa de espalhamento (velocidade de propagação) da notícia em relação à proporção da população que a conhece.

Seja $p(t)=\frac{f(t)}{N}$ a fração (ou proporção) da população que conhece a notícia no instante $t$. A função dada é:
$f(t)=\frac{N}{1+(N-1)e^{-kt}}$

Portanto, a proporção $p(t)$ é:
$p(t)=\frac{1}{1+(N-1)e^{-kt}}$

Diferenciando $p(t)$ em relação ao tempo $t$ para encontrar a taxa de espalhamento por unidade de tempo (velocidade de propagação da fração da população):
p'(t) = \frac{k(N-1)e^{-kt}}{\left(1 + (N-1)e^{-kt}\right)^2}

Podemos expressar p'(t) em termos de $p(t)$ utilizando a relação da função logística:
p'(t) = k \cdot p(t) \cdot (1 - p(t))

O enunciado afirma que, em um determinado instante, $30\%$ da população conhece a notícia, ou seja, $p(t)=0,3$. Substituindo esse valor na equação da taxa de espalhamento:
p'(t) = k \cdot 0,3 \cdot (1 - 0,3) = k \cdot 0,3 \cdot 0,7 = 0,21k

Para que o espalhamento esteja em um patamar superior a $20\%$ por unidade de tempo (ou seja, p'(t) > 0,20), teríamos que ter:
0,21k > 0,20 \implies k > \frac{0,20}{0,21} \approx 0,952

Como $k$ é uma constante positiva qualquer que depende de fatores externos de propagação e não foi especificada no problema, não podemos garantir que k > 0,952. Por exemplo, se $k=0,5$, a taxa de espalhamento seria de apenas $10,5\%$ ($0,21\times 0,5=0,105$).

Portanto, a afirmação de que o espalhamento estaria necessariamente em patamar superior a 20% é incorreta (Errada).