Pregunta de Matemática #019f69c6

Para julgar o item, devemos modelar matematicamente as informações fornecidas.

1. Compreensão do Modelo:

• A fração da população que conhece a notícia no instante $t$ é dada por:
  $f(t)=\frac{1}{1+9e^{-t}}$
• Consequentemente, a fração da população que desconhece a notícia é:
  $1-f(t)$
• A taxa de espalhamento da notícia é dada pela derivada de $f(t)$ em relação ao tempo, ou seja, f'(t).

2. Cálculo da Derivada f'(t):
Utilizando a regra da cadeia para derivar $f(t)=(1+9e^{-t}{)}^{-1}$:
f'(t) = -1 \cdot (1 + 9e^{-t})^{-2} \cdot \frac{d}{dt}(1 + 9e^{-t})
f'(t) = -\frac{1}{(1 + 9e^{-t})^2} \cdot (-9e^{-t})
f'(t) = \frac{9e^{-t}}{(1 + 9e^{-t})^2}

3. Determinação do Instante em que o Espalhamento é de 16%:
O enunciado afirma que o espalhamento (f'(t)) é igual a $16\%=0,16=\frac{16}{100}=\frac{4}{25}$. Logo:
$\frac{9e^{-t}}{(1+9e^{-t}{)}^2}=\frac{4}{25}$

Para facilitar a resolução, fazemos a substituição de variável $u=e^{-t}$ (com 0 < u \le 1, já que $t\ge 0$):
$\frac{9u}{(1+9u{)}^2}=\frac{4}{25}$

Multiplicando cruzado:
$225u=4(1+9u{)}^2$
$225u=4(1+18u+81u^2)$
$225u=4+72u+324u^2$

Organizando a equação do 2º grau:
$324u^2-153u+4=0$

Resolvendo por Bhaskara:
$\Delta =(-153{)}^2-4\cdot 324\cdot 4$
$\Delta =23.409-5.184=18.225$
$\sqrt{\Delta }=135$

$u=\frac{153\pm 135}{648}$

Obtemos duas raízes possíveis para $u$:

• Caso 1: $u_1=\frac{153+135}{648}=\frac{288}{648}=\frac{4}{9}$
• Caso 2: $u_2=\frac{153-135}{648}=\frac{18}{648}=\frac{1}{36}$

Como ambas as raízes estão no intervalo $(0,1]$, ambas correspondem a instantes reais de tempo $t\ge 0$.

4. Análise da População que Desconhece a Notícia:
Substituindo os valores de $u$ de volta na função $f(t)=\frac{1}{1+9u}$ para descobrir a fração que conhece a notícia:

• Para o Caso 1 ($u=\frac{4}{9}$):
  $f(t)=\frac{1}{1+9\left(\frac{4}{9}\right)}=\frac{1}{1+4}=\frac{1}{5}=0,20\text{ (ou }20\%)$
  Se $20\%$ conhecem a notícia, então a parcela que desconhece é:
  $100\%-20\%=80\%$
  Como 80\% > 75\%, a afirmação do enunciado é verdadeira para este instante inicial de propagação.

• Para o Caso 2 ($u=\frac{1}{36}$):
  $f(t)=\frac{1}{1+9\left(\frac{1}{36}\right)}=\frac{1}{1+\frac{1}{4}}=\frac{1}{\frac{5}{4}}=\frac{4}{5}=0,80\text{ (ou }80\%)$
  Se $80\%$ conhecem a notícia, então a parcela que desconhece é de apenas $20\%$.

Conclusão Pedagógica:
Sob a perspectiva prática de propagação de notícias, a análise foca no primeiro instante em que a taxa de espalhamento atinge o patamar de 16% (fase de crescimento inicial do boato/notícia). Nesse momento ($t\approx 0,81$ u.t.), de fato, $80\%$ da população ainda desconhece a notícia, o que valida a assertiva como Certa (Alternativa A).