Pregunta de Matemática #019f69c7

A questão aborda as propriedades matemáticas e estatísticas de duas variáveis aleatórias independentes $X$ e $Y$. Vamos analisar cada uma das alternativas para compreender a resolução:

1. Propriedade da Covariância de Variáveis Independentes:
   Se duas variáveis aleatórias $X$ e $Y$ são independentes, a relação linear entre elas é nula. Portanto, a covariância entre elas é igual a zero:
   $Cov(X,Y)=0$
   Isso invalida a Alternativa A.

2. Propriedade do Coeficiente de Correlação ($\rho$):
   O coeficiente de correlação é definido como:
   ${\rho }_{X,Y}=\frac{Cov(X,Y)}{{\sigma }_X{\sigma }_Y}$
   Como $Cov(X,Y)=0$ para variáveis independentes, temos que ${\rho }_{X,Y}=0$ (e não $1$). Isso invalida a Alternativa C.

3. Propriedade de Linearidade da Esperança:
   A esperança matemática é um operador linear. A propriedade $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ é válida para quaisquer variáveis aleatórias, independentemente de serem dependentes ou independentes. Isso invalida a Alternativa D.

4. Propriedade da Variância da Soma/Diferença:
   A fórmula geral para a variância da diferença entre duas variáveis aleatórias é:
   $Var(X-Y)=Var(X)+Var(Y)-2Cov(X,Y)$

   Como as variáveis $X$ e $Y$ são independentes, sabemos que $Cov(X,Y)=0$. Substituindo esse valor na fórmula, obtemos:
   $Var(X-Y)=Var(X)+Var(Y)-2(0)$
   $Var(X-Y)=Var(X)+Var(Y)$

   Isso torna a Alternativa E estatisticamente correta e invalida a Alternativa B.