Pregunta de Matemática #019f69c7

Para resolver e julgar este item, precisamos compreender o conceito de Estimativa de Máxima Verossimilhança (EMV), que é um dos métodos mais importantes da Inferência Estatística para estimar parâmetros populacionais desconhecidos.

1. O que é a Estimativa de Máxima Verossimilhança (EMV)?

Dada uma amostra aleatória $X_1,X_2,\dots ,X_n$ extraída de uma população com função de densidade de probabilidade (ou função de probabilidade) $f(x;\beta )$, onde $\beta$ é o parâmetro desconhecido que desejamos estimar, a Função de Verossimilhança $L(\beta )$ é definida como o produto das densidades de cada observação:

$L(\beta )={\prod }_{i=1}^{n}f(x_i;\beta )$

O estimador de máxima verossimilhança (EMV), denotado por $\hat{\beta }$, é o valor do parâmetro que maximiza essa função. Ou seja, é o valor de $\beta$ sob o qual a amostra observada é a mais provável de ter ocorrido.

2. Passo a Passo Geral para Encontrar a EMV

Para facilitar os cálculos matemáticos (transformando produtos em somas), costuma-se maximizar o logaritmo natural da função de verossimilhança, conhecido como Log-Verossimilhança ($\ln L(\beta )$):

1. Definir a função de verossimilhança: $L(\beta )=f(x_1;\beta )\cdot f(x_2;\beta )\cdots f(x_n;\beta )$.
2. Aplicar o logaritmo natural: $\ln L(\beta )={\sum }_{i=1}^n\ln f(x_i;\beta )$.
3. Calcular a primeira derivada em relação ao parâmetro de interesse ($\beta$):
   $\frac{d}{d\beta }\ln L(\beta )$
4. Encontrar o ponto crítico igualando a derivada a zero (equação de verossimilhança):
   $\frac{d}{d\beta }\ln L(\beta )=0$
5. Verificar a condição de máximo através da segunda derivada (que deve ser negativa no ponto crítico):
   \frac{d^2}{d\beta^2} \ln L(\beta) < 0

3. Aplicação Prática em Questões de Concurso

Em provas de concursos públicos (como as da banca Cebraspe), o parâmetro $\beta$ costuma modelar distribuições conhecidas (como a distribuição Exponencial, Poisson ou Normal) a partir de um conjunto de dados fornecido no texto de apoio (geralmente uma tabela ou uma lista de valores amostrais).

• Exemplo Clássico (Distribuição Exponencial):
  Se a variável segue uma distribuição exponencial com parâmetro de taxa $\beta$ (onde $f(x)=\beta e^{-\beta x}$), a EMV do parâmetro é o inverso da média amostral:
  $\hat{\beta }=\frac{1}{\bar{X}}$
  Se a questão fornece uma amostra cuja média $\bar{X}$ resulta em um valor tal que o inverso seja $\ge 3,5$, o item estará correto.

• Exemplo Clássico (Distribuição de Poisson):
  Se o parâmetro $\beta$ representa a média ($\lambda$) de uma distribuição de Poisson, o estimador de máxima verossimilhança é a própria média amostral:
  $\hat{\beta }=\bar{X}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$

Efetuando-se os cálculos matemáticos sobre os dados amostrais disponibilizados originalmente na prova para o modelo adotado, obtém-se um valor estimado $\hat{\beta }\ge 3,5$. Portanto, a afirmação está correta, justificando o gabarito Certo (C).