Pregunta de Matemática #019f69c7

Para resolver a questão, devemos analisar o processo de divisão das pessoas disponíveis em duas equipes de plantão idênticas.

1. Compreensão da estrutura das equipes e dos recursos disponíveis:

• Cada equipe de plantão precisa de: 1 delegado, 1 escrivão e 2 agentes.
• Estão disponíveis no total: 2 delegados, 2 escrivães e 4 agentes.

Como o total de profissionais disponíveis é exatamente o dobro do necessário para uma única equipe, ao selecionarmos os membros que farão parte da primeira equipe, os membros da segunda equipe estarão automaticamente definidos (serão os que sobrarem).

2. Cálculo das possibilidades para a primeira equipe:

• Delegados: Devemos escolher 1 delegado dentre os 2 disponíveis:
  $C_{2,1}=2$
• Escrivães: Devemos escolher 1 escrivão dentre os 2 disponíveis:
  $C_{2,1}=2$
• Agentes: Devemos escolher 2 agentes dentre os 4 disponíveis:
  $C_{4,2}=\frac{4\times 3}{2\times 1}=6$

Pelo Princípio Multiplicativo, o número de maneiras de selecionar os componentes da primeira equipe é:
$\text{Maneiras}=2\times 2\times 6=24\text{ maneiras}$

3. Ajuste pela indistinguibilidade das equipes (divisão em grupos idênticos):
Note que o enunciado pede o número de maneiras de se montar "as duas equipes", sem atribuir qualquer distinção entre elas (como "Equipe A e Equipe B" ou "Plantão do Dia e Plantão da Noite").

Se a primeira equipe for formada por $\{{\text{Delegado}}_1,{\text{Escriva˜o}}_1,{\text{Agente}}_1,{\text{Agente}}_2\}$, a segunda equipe será formada pelas sobras: $\{{\text{Delegado}}_2,{\text{Escriva˜o}}_2,{\text{Agente}}_3,{\text{Agente}}_4\}$.

Se tivéssemos escolhido o segundo grupo como a "primeira equipe", o resultado final de equipes formadas seria exatamente o mesmo. Como a ordem de escolha das equipes não gera uma nova distribuição, devemos dividir o total de combinações por $2!$ (que representa a permutação das duas equipes idênticas):
$\text{Total de maneiras distintas}=\frac{24}{2!}=\frac{24}{2}=12\text{ maneiras}$

4. Comparação com a afirmação do item:
O item afirma que o número de maneiras distintas é igual a $4!$.
Sabemos que:
$4!=4\times 3\times 2\times 1=24$

Como o número correto de maneiras distintas de montar as duas equipes é $12$ (e não $24$), o item está Errado.