Questão de Ciências da Natureza e suas Tecnologias #019e5bf1

A televisão funciona apenas com tensão entre $90\text{ V}$ e $130\text{ V}$. O circuito possui um cabo de resistência de $10\Omega$ em série com o conjunto de lâmpadas e televisão em paralelo. A tensão na televisão é a mesma tensão no paralelo. Para que a televisão funcione, a tensão sobre ela deve ser de pelo menos $90\text{ V}$.

Calculando a resistência equivalente do paralelo: cada lâmpada tem $200\Omega$, a televisão tem $50\Omega$. Se ligarmos $n$ lâmpadas, a resistência equivalente do paralelo ($R_{\text{eq}}$) é dada por:

$\frac{1}{R_{\text{eq}}}=\frac{n}{200}+\frac{1}{50}=\frac{n}{200}+\frac{4}{200}=\frac{n+4}{200}$

então $R_{\text{eq}}=\frac{200}{n+4}\Omega$.

A resistência total do circuito é $R_{\text{total}}=10+R_{\text{eq}}=10+\frac{200}{n+4}$. A corrente total é $I=\frac{120}{R_{\text{total}}}$. A tensão sobre o paralelo (e sobre a televisão) é $V_{\text{tv}}=I\cdot R_{\text{eq}}=\frac{120\cdot R_{\text{eq}}}{10+R_{\text{eq}}}$.

Substituindo $R_{\text{eq}}$:

$V_{\text{tv}}=\frac{120\cdot \left(\frac{200}{n+4}\right)}{10+\frac{200}{n+4}}=\frac{120\cdot 200}{10(n+4)+200}=\frac{24000}{10n+40+200}=\frac{24000}{10n+240}=\frac{2400}{n+24}$

Para $V_{\text{tv}}\ge 90\text{ V}$:

$\frac{2400}{n+24}\ge 90⟹2400\ge 90(n+24)⟹2400\ge 90n+2160⟹2400-2160\ge 90n⟹240\ge 90n⟹n\le \frac{240}{90}=\frac{8}{3}\approx 2,67$

Como $n$ é inteiro, o máximo é $n=2$.

Portanto, podem ser ligadas no máximo $2$ lâmpadas.

A opção que indica $1$ lâmpada está incorreta porque é possível ligar $2$ lâmpadas sem que a tensão caia abaixo de $90\text{ V}$. A opção que indica $3$ lâmpadas está incorreta porque com $3$ lâmpadas a tensão na televisão seria $\frac{2400}{3+24}=\frac{2400}{27}\approx 88,9\text{ V}$, abaixo de $90\text{ V}$. As opções $4$ e $5$ também resultam em tensões ainda menores, inviabilizando o funcionamento da televisão.