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Um jogo pedagógico utiliza-se de uma interface algébrico-geométrica do seguinte modo: os alunos devem eliminar os pontos do plano cartesiano dando “tiros”, seguindo trajetórias que devem passar pelos pontos escolhidos. Para dar os tiros, o aluno deve escrever em uma janela do programa a equação cartesiana de uma reta ou de uma circunferência que passa pelos pontos e pela origem do sistema de coordenadas. Se o tiro for dado por meio da equação da circunferência, cada ponto diferente da origem que for atingido vale 2 pontos. Se o tiro for dado por meio da equação de uma reta, cada ponto diferente da origem que for atingido vale 1 ponto.

Em uma situação de jogo, ainda restam os seguintes pontos para serem eliminados: $A (0; 4)$ , $B (4; 4)$ , $C (4; 0)$ , $D (2; 2)$ e $E (0; 2)$ .

A questão pede a equação que, passando pelo ponto $A (0, 4)$ , fornece a maior pontuação. A pontuação é calculada somando 2 pontos para cada ponto diferente da origem atingido por uma circunferência, e 1 ponto para cada ponto diferente da origem atingido por uma reta. A equação deve passar pela origem $(0, 0)$ e pelo ponto $A$ . Vamos analisar cada alternativa:

$x = 0$ : É uma reta vertical que passa pela origem e por $A (0, 4)$ . Ela também passa por $E (0, 2)$ . Portanto, atinge os pontos $A$ , $E$ e a origem. Como é reta, cada ponto diferente da origem vale 1 ponto. Pontos atingidos: $A$ e $E$ (2 pontos). Total: 2 pontos.
$y = 0$ : É uma reta horizontal que passa pela origem, mas não passa por $A (0, 4)$ . Portanto, não atende à condição de passar por $A$ . Pontuação: 0.
$x^{2} + y^{2} = 16$ : É uma circunferência centrada na origem com raio $4$ . Passa pela origem? Não, pois a origem $(0, 0)$ não satisfaz a equação $(0 + 0 = 0 \neq = 16)$ . A questão exige que a trajetória passe pela origem. Portanto, não é válida. Pontuação: 0.
$x^{2} + (y - 2)^{2} = 4$ : É uma circunferência centrada em $(0, 2)$ com raio $2$ . Passa pela origem? Verificando: $0^{2} + (0 - 2)^{2} = 4$ , sim, passa. Passa por $A (0, 4)$ ? $0^{2} + (4 - 2)^{2} = 4$ , sim. Também passa por $E (0, 2)$ ? $0^{2} + (2 - 2)^{2} = 0 \neq = 4$ , não. Portanto, atinge apenas $A$ e a origem. Como é circunferência, cada ponto diferente da origem vale 2 pontos. Total: 2 pontos (apenas $A$ ).
$(x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} = 8$ : É uma circunferência centrada em $(2, 2)$ com raio $8 \approx 2, 828$ . Passa pela origem? $(0 - 2)^{2} + (0 - 2)^{2} = 4 + 4 = 8$ , sim. Passa por $A (0, 4)$ ? $(0 - 2)^{2} + (4 - 2)^{2} = 4 + 4 = 8$ , sim. Também passa por $B (4, 4)$ ? $(4 - 2)^{2} + (4 - 2)^{2} = 4 + 4 = 8$ , sim. Passa por $C (4, 0)$ ? $(4 - 2)^{2} + (0 - 2)^{2} = 4 + 4 = 8$ , sim. Passa por $D (2, 2)$ ? $(2 - 2)^{2} + (2 - 2)^{2} = 0 \neq = 8$ , não. Passa por $E (0, 2)$ ? $(0 - 2)^{2} + (2 - 2)^{2} = 4 \neq = 8$ , não. Portanto, atinge $A$ , $B$ , $C$ e a origem. Como é circunferência, cada ponto diferente da origem vale 2 pontos. Pontos: $A$ , $B$ , $C$ (3 pontos). Total: 6 pontos.

Comparando as pontuações: a reta $x = 0$ dá 2 pontos, a circunferência $x^{2} + (y - 2)^{2} = 4$ dá 2 pontos, e a circunferência $(x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} = 8$ dá 6 pontos. Portanto, a maior pontuação é obtida com a equação $(x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} = 8$ .

Questão de Matemática e suas Tecnologias #019e5c01

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