Questão de Matemática e suas Tecnologias #019e5c01

A questão envolve o cálculo de probabilidades em diferentes cenários de retirada de bolas sem reposição. A opção correta é a que resulta na maior probabilidade de retirar duas bolas pretas consecutivamente.

Opção 1 (Urna $A$): A urna $A$ tem 3 brancas, 2 pretas e 1 verde, totalizando 6 bolas. A probabilidade de retirar duas pretas é: $\frac{2}{6}\cdot \frac{1}{5}=\frac{2}{30}=\frac{1}{15}\approx 0,0667$.

Opção 2 (Urna $B$): A urna $B$ tem 6 brancas, 3 pretas e 1 verde, totalizando 10 bolas. Probabilidade: $\frac{3}{10}\cdot \frac{2}{9}=\frac{6}{90}=\frac{1}{15}\approx 0,0667$.

Opção 3 (Transferir uma bola de $C$ para $A$, depois retirar duas de $A$): A urna $C$ tem 2 pretas e 2 verdes. Ao transferir uma bola de $C$ para $A$, a composição de $A$ muda. A probabilidade de transferir uma preta é $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$, e de transferir uma verde é $\frac{1}{2}$. Após a transferência, $A$ terá 7 bolas. Se a bola transferida for preta, $A$ fica com 3 pretas, 3 brancas, 1 verde; probabilidade de duas pretas: $\frac{3}{7}\cdot \frac{2}{6}=\frac{6}{42}=\frac{1}{7}$. Se for verde, $A$ fica com 2 pretas, 3 brancas, 2 verdes; probabilidade: $\frac{2}{7}\cdot \frac{1}{6}=\frac{2}{42}=\frac{1}{21}$. Probabilidade total: $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{7}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{21}=\frac{1}{14}+\frac{1}{42}=\frac{3}{42}+\frac{1}{42}=\frac{4}{42}=\frac{2}{21}\approx 0,0952$.

Opção 4 (Transferir uma bola de $D$ para $C$, depois retirar duas de $C$): $D$ tem 3 brancas e 3 pretas. Transferir uma bola de $D$ para $C$: probabilidade de transferir preta $=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$, branca $=\frac{1}{2}$. $C$ inicialmente tem 2 pretas e 2 verdes (4 bolas). Após transferência, $C$ terá 5 bolas. Se a transferida for preta, $C$ fica com 3 pretas e 2 verdes; probabilidade de duas pretas: $\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{4}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$. Se for branca, $C$ fica com 2 pretas, 1 branca, 2 verdes; probabilidade: $\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{4}=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$. Total: $\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{10}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{10}=\frac{3}{20}+\frac{1}{20}=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}=0,2$.

Opção 5 (Transferir uma bola de $C$ para $D$, depois retirar duas de $D$): $C$ tem 2 pretas e 2 verdes. Transferir de $C$ para $D$: probabilidade de preta $=\frac{1}{2}$, verde $=\frac{1}{2}$. $D$ inicialmente tem 3 brancas e 3 pretas (6 bolas). Após transferência, $D$ terá 7 bolas. Se a transferida for preta, $D$ fica com 4 pretas e 3 brancas; probabilidade de duas pretas: $\frac{4}{7}\cdot \frac{3}{6}=\frac{12}{42}=\frac{2}{7}$. Se for verde, $D$ fica com 3 pretas, 3 brancas, 1 verde; probabilidade: $\frac{3}{7}\cdot \frac{2}{6}=\frac{6}{42}=\frac{1}{7}$. Total: $\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{7}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{7}=\frac{2}{14}+\frac{1}{14}=\frac{3}{14}\approx 0,2143$.

Comparando as probabilidades: Opção 1 $\approx 0,0667$; Opção 2 $\approx 0,0667$; Opção 3 $\approx 0,0952$; Opção 4 $=0,2$; Opção 5 $\approx 0,2143$. A maior é a Opção 5, que corresponde à alternativa que indica a opção 5.