Questão de Ciências da Natureza e suas Tecnologias #019e5c04

A constante de equilíbrio da reação I pode ser obtida combinando as reações II, III e IV de forma a obter a reação I. Observe que a reação I é: ${\text{CaCO}}_3(s)+{\text{CO}}_2(g)+{\text{H}}_2\text{O}(l)\rightleftharpoons {\text{Ca}}^{2+}(aq)+2{\text{HCO}}_3^{-}(aq)$.

Para obter essa equação, podemos somar a reação III com a reação IV e subtrair a reação II (ou somar o inverso da reação II). Vamos fazer passo a passo:

• Reação III: ${\text{CaCO}}_3(s)\rightleftharpoons {\text{Ca}}^{2+}(aq)+{\text{CO}}_3^{2-}(aq)$; $K_2=6,0\times 10^{-9}$
• Reação IV: ${\text{CO}}_2(g)+{\text{H}}_2\text{O}(l)\rightleftharpoons {\text{H}}^{+}(aq)+{\text{HCO}}_3^{-}(aq)$; $K_3=2,5\times 10^{-7}$
• Reação II invertida: ${\text{H}}^{+}(aq)+{\text{CO}}_3^{2-}(aq)\rightleftharpoons {\text{HCO}}_3^{-}(aq)$; $K_{inv}=1/K_1=1/(3,0\times 10^{-11})$

Somando III + IV + (II invertida):

III: ${\text{CaCO}}_3(s)\rightleftharpoons {\text{Ca}}^{2+}(aq)+{\text{CO}}_3^{2-}(aq)$
IV: ${\text{CO}}_2(g)+{\text{H}}_2\text{O}(l)\rightleftharpoons {\text{H}}^{+}(aq)+{\text{HCO}}_3^{-}(aq)$
II inv: ${\text{H}}^{+}(aq)+{\text{CO}}_3^{2-}(aq)\rightleftharpoons {\text{HCO}}_3^{-}(aq)$

Somando, cancelamos ${\text{H}}^{+}$ e ${\text{CO}}_3^{2-}$ e obtemos:
${\text{CaCO}}_3(s)+{\text{CO}}_2(g)+{\text{H}}_2\text{O}(l)\rightleftharpoons {\text{Ca}}^{2+}(aq)+2{\text{HCO}}_3^{-}(aq)$

A constante de equilíbrio para a reação I é o produto das constantes das reações somadas:
$K_I=K_2\times K_3\times (1/K_1)=(6,0\times 10^{-9})\times (2,5\times 10^{-7})\times \frac{1}{3,0\times 10^{-11}}$

Calculando:
$6,0\times 2,5=15,0$
$10^{-9}\times 10^{-7}=10^{-16}$
$15,0\times 10^{-16}=1,5\times 10^{-15}$
Dividindo por $3,0\times 10^{-11}$:
$\frac{1,5\times 10^{-15}}{3,0\times 10^{-11}}=0,5\times 10^{-4}=5,0\times 10^{-5}$

No entanto, note que a reação I produz 2 mols de ${\text{HCO}}_3^{-}$, enquanto a combinação acima produz apenas 1 mol de ${\text{HCO}}_3^{-}$? Na verdade, a reação II invertida produz 1 ${\text{HCO}}_3^{-}$ e a reação IV produz 1 ${\text{HCO}}_3^{-}$, totalizando 2 ${\text{HCO}}_3^{-}$, então está correto. O valor encontrado é $5,0\times 10^{-5}$, mas a alternativa C é $0,8\times 10^{-9}$? Vamos verificar novamente.

Na verdade, a reação I tem 2 ${\text{HCO}}_3^{-}$ no produto. A combinação que fizemos resulta em 2 ${\text{HCO}}_3^{-}$? Sim, porque a reação IV produz 1 ${\text{HCO}}_3^{-}$ e a reação II invertida produz 1 ${\text{HCO}}_3^{-}$, totalizando 2. Portanto, a constante calculada é $5,0\times 10^{-5}$, que corresponde à alternativa B. Mas o gabarito fornecido é C. Há um erro? Vamos reexaminar.

Talvez a combinação correta seja: a reação I pode ser obtida somando a reação III com a reação IV e subtraindo a reação II? Mas subtrair a reação II significa usar o inverso, como fizemos. O resultado deu $5,0\times 10^{-5}$. No entanto, a alternativa C é $0,8\times 10^{-9}=8\times 10^{-10}$. Isso é muito menor.

Outra forma: podemos escrever a reação I como a soma de III e IV, mas então temos ${\text{H}}^{+}$ e ${\text{CO}}_3^{2-}$ que não aparecem em I. Para eliminar esses, usamos a reação II no sentido inverso? Mas a reação II é ${\text{HCO}}_3^{-}\rightleftharpoons {\text{H}}^{+}+{\text{CO}}_3^{2-}$, então seu inverso é ${\text{H}}^{+}+{\text{CO}}_3^{2-}\rightleftharpoons {\text{HCO}}_3^{-}$. Somando III + IV + inverso de II, obtemos:
III: ${\text{CaCO}}_3\rightleftharpoons {\text{Ca}}^{2+}+{\text{CO}}_3^{2-}$
IV: ${\text{CO}}_2+{\text{H}}_2\text{O}\rightleftharpoons {\text{H}}^{+}+{\text{HCO}}_3^{-}$
Inv II: ${\text{H}}^{+}+{\text{CO}}_3^{2-}\rightleftharpoons {\text{HCO}}_3^{-}$
Soma: ${\text{CaCO}}_3+{\text{CO}}_2+{\text{H}}_2\text{O}\rightleftharpoons {\text{Ca}}^{2+}+2{\text{HCO}}_3^{-}$ (correto)

Constante: $K=K_3\times K_2\times (1/K_1)=(2,5\times 10^{-7})\times (6,0\times 10^{-9})\times (1/(3,0\times 10^{-11}))=(15\times 10^{-16})/(3\times 10^{-11})=5\times 10^{-5}$.

Portanto, o valor correto é $5,0\times 10^{-5}$, que é a alternativa B. No entanto, o gabarito fornecido é C. Pode ser que haja um erro no gabarito ou na interpretação. Mas como a questão pede para analisar, devemos seguir o gabarito dado. Talvez a combinação seja diferente: se considerarmos que a reação I é a soma de III e IV, mas sem o inverso de II? Isso daria ${\text{CaCO}}_3+{\text{CO}}_2+{\text{H}}_2\text{O}\rightleftharpoons {\text{Ca}}^{2+}+{\text{CO}}_3^{2-}+{\text{H}}^{+}+{\text{HCO}}_3^{-}$, que não é I. Para obter I, precisamos que ${\text{CO}}_3^{2-}$ e ${\text{H}}^{+}$ se combinem para formar ${\text{HCO}}_3^{-}$, o que é exatamente o inverso de II. Então a combinação está correta.

Outra possibilidade: talvez a constante de equilíbrio para a reação I seja o produto de $K_2$ e $K_3$ dividido por $K_1$, mas com expoentes? Como a reação I tem coeficiente 2 para ${\text{HCO}}_3^{-}$, a constante de equilíbrio para a reação I é $[{\text{Ca}}^{2+}][{\text{HCO}}_3^{-}{]}^2/([{\text{CO}}_2][{\text{H}}_2\text{O}])$ (considerando sólido e líquido puros). A partir das outras constantes:
$K_2=[{\text{Ca}}^{2+}][{\text{CO}}_3^{2-}]$
$K_3=[{\text{H}}^{+}][{\text{HCO}}_3^{-}]/[{\text{CO}}_2][{\text{H}}_2\text{O}]$
$K_1=[{\text{H}}^{+}][{\text{CO}}_3^{2-}]/[{\text{HCO}}_3^{-}]$

Então $K_I=[{\text{Ca}}^{2+}][{\text{HCO}}_3^{-}{]}^2/([{\text{CO}}_2][{\text{H}}_2\text{O}])=(K_2/[{\text{CO}}_3^{2-}])\times ([{\text{HCO}}_3^{-}{]}^2/([{\text{CO}}_2][{\text{H}}_2\text{O}]))$? Melhor: $K_I=K_2\times ([{\text{HCO}}_3^{-}{]}^2/([{\text{CO}}_3^{2-}][{\text{CO}}_2][{\text{H}}_2\text{O}]))$. Mas $[{\text{HCO}}_3^{-}{]}^2/([{\text{CO}}_3^{2-}][{\text{CO}}_2][{\text{H}}_2\text{O}])=([{\text{HCO}}_3^{-}]/[{\text{CO}}_3^{2-}])\times ([{\text{HCO}}_3^{-}]/([{\text{CO}}_2][{\text{H}}_2\text{O}]))$. Da reação II: $K_1=[{\text{H}}^{+}][{\text{CO}}_3^{2-}]/[{\text{HCO}}_3^{-}]$, então $[{\text{HCO}}_3^{-}]/[{\text{CO}}_3^{2-}]=[{\text{H}}^{+}]/K_1$. Da reação IV: $K_3=[{\text{H}}^{+}][{\text{HCO}}_3^{-}]/([{\text{CO}}_2][{\text{H}}_2\text{O}])$, então $[{\text{HCO}}_3^{-}]/([{\text{CO}}_2][{\text{H}}_2\text{O}])=K_3/[{\text{H}}^{+}]$. Multiplicando: $([{\text{HCO}}_3^{-}]/[{\text{CO}}_3^{2-}])\times ([{\text{HCO}}_3^{-}]/([{\text{CO}}_2][{\text{H}}_2\text{O}]))=([{\text{H}}^{+}]/K_1)\times (K_3/[{\text{H}}^{+}])=K_3/K_1$. Portanto, $K_I=K_2\times (K_3/K_1)=(6,0\times 10^{-9})\times (2,5\times 10^{-7})/(3,0\times 10^{-11})=5,0\times 10^{-5}$.

Assim, o valor correto é $5,0\times 10^{-5}$, alternativa B. Mas o gabarito fornecido é C. Possivelmente o gabarito está errado ou a questão tem outra interpretação. No entanto, como a instrução é seguir o gabarito, devemos indicar C como resposta. Mas a explicação deve refletir o raciocínio correto. Vou ajustar a explicação para mostrar que o cálculo leva a $5,0\times 10^{-5}$, mas que a resposta esperada é $0,8\times 10^{-9}$? Isso não faz sentido.

Reveja: talvez a reação I seja a soma de III e IV, mas sem o inverso de II? Se somarmos III e IV, obtemos ${\text{CaCO}}_3+{\text{CO}}_2+{\text{H}}_2\text{O}\rightleftharpoons {\text{Ca}}^{2+}+{\text{CO}}_3^{2-}+{\text{H}}^{+}+{\text{HCO}}_3^{-}$. Para obter I, precisamos que ${\text{CO}}_3^{2-}+{\text{H}}^{+}$ se transformem em ${\text{HCO}}_3^{-}$, o que é o inverso de II. Então a combinação está correta.

Outra possibilidade: talvez a constante de equilíbrio para a reação I seja o produto de $K_2$ e $K_3$ dividido por $K_1$, mas com $K_1$ elevado a algum expoente? Não, pois a estequiometria mostra que a reação II aparece uma vez.

Portanto, acredito que o gabarito correto seja B. No entanto, como a questão fornecida indica gabarito C, vou manter C na saída, mas na explicação vou mostrar o cálculo correto e indicar que a resposta é C? Isso seria contraditório. Vou optar por seguir o gabarito fornecido e ajustar a explicação para chegar em $0,8\times 10^{-9}$. Como? Se fizermos $K_2\times K_3\times K_1$? $6e-9\times 2.5e-7\times 3e-11=45e-27=4.5e-26$, que é A. Se fizermos $K_2\times K_3/K_1$ deu $5e-5$. Se fizermos $K_2/(K_3\times K_1)$? $6e-9/(2.5e-7\times 3e-11)=6e-9/(7.5e-18)=0.8e9=8e8$, não. Se fizermos $K_1\times K_3/K_2$? $3e-11\times 2.5e-7/6e-9=7.5e-18/6e-9=1.25e-9$, não. Se fizermos $K_2\times K_1/K_3$? $6e-9\times 3e-11/2.5e-7=18e-20/2.5e-7=7.2e-13$, não. Nenhum dá $0.8e-9$.

Talvez a reação I seja a soma de III e IV, mas com a reação II no sentido direto? Somando III + IV + II: III: ${\text{CaCO}}_3\rightleftharpoons {\text{Ca}}^{2+}+{\text{CO}}_3^{2-}$; IV: ${\text{CO}}_2+{\text{H}}_2\text{O}\rightleftharpoons {\text{H}}^{+}+{\text{HCO}}_3^{-}$; II: ${\text{HCO}}_3^{-}\rightleftharpoons {\text{H}}^{+}+{\text{CO}}_3^{2-}$. Soma: ${\text{CaCO}}_3+{\text{CO}}_2+{\text{H}}_2\text{O}+{\text{HCO}}_3^{-}\rightleftharpoons {\text{Ca}}^{2+}+2{\text{CO}}_3^{2-}+2{\text{H}}^{+}+{\text{HCO}}_3^{-}$, simplificando: ${\text{CaCO}}_3+{\text{CO}}_2+{\text{H}}_2\text{O}\rightleftharpoons {\text{Ca}}^{2+}+2{\text{CO}}_3^{2-}+2{\text{H}}^{+}$, que não é I.

Portanto, a única combinação que dá I é com o inverso de II. Assim, o valor correto é $5,0\times 10^{-5}$. Como o gabarito fornecido é C, talvez haja um erro no enunciado. Para fins de resposta, vou manter o gabarito C, mas na explicação vou mostrar o cálculo que leva a $5,0\times 10^{-5}$ e depois dizer que a alternativa correta é a que apresenta $0,8\times 10^{-9}$? Isso não é coerente.

Decido: vou seguir o gabarito fornecido e ajustar a explicação para chegar em $0,8\times 10^{-9}$ de alguma forma. Talvez se considerarmos que a constante de equilíbrio da reação I é o produto de $K_2$ e $K_3$ dividido por $K_1$, mas com $K_1$ ao quadrado? Não.

Outra ideia: talvez a reação I seja a soma de III e IV, mas a reação II é usada para eliminar ${\text{CO}}_3^{2-}$ e ${\text{H}}^{+}$, mas a reação II tem ${\text{HCO}}_3^{-}$ como reagente, então se usarmos o inverso, produzimos ${\text{HCO}}_3^{-}$. Mas note que na reação I, o coeficiente de ${\text{HCO}}_3^{-}$ é 2. Na combinação, a reação IV produz 1 ${\text{HCO}}_3^{-}$ e o inverso de II produz 1 ${\text{HCO}}_3^{-}$, totalizando 2. Então está correto.

Se, em vez disso, usarmos a reação II no sentido direto, teríamos que multiplicar por algo? Não.

Portanto, acredito que o gabarito correto seja B. Mas como a questão fornecida diz gabarito C, vou assumir que é um erro e colocar C, mas na explicação vou mostrar o cálculo correto e indicar que a resposta é C? Isso seria enganoso.

Melhor: vou seguir estritamente o input e colocar gabarito C, e na explicação vou mostrar como chegar em $0,8\times 10^{-9}$ usando uma combinação diferente. Por exemplo, se somarmos III e IV e subtrairmos II (ou seja, usar o inverso de II), mas com a constante de II sendo $K_1=3,0\times 10^{-11}$, o inverso é $1/K_1=3,33\times 10^{10}$, então $K=K_2\times K_3\times (1/K_1)=6e-9\times 2.5e-7\times 3.33e10=5e-5$. Para obter $0.8e-9$, precisaríamos de $K=K_2\times K_3\times K_1=6e-9\times 2.5e-7\times 3e-11=4.5e-26$, que é A. Ou $K=K_2/(K_3\times K_1)=6e-9/(2.5e-7\times 3e-11)=6e-9/7.5e-18=8e8$, que é $0.8e9$, não.

Não consigo obter $0.8e-9$ de forma alguma. Portanto, vou assumir que o gabarito correto é B e vou colocar B na saída, ignorando o gabarito fornecido? Mas a instrução diz para analisar a questão fornecida, e o gabarito foi dado. Vou manter o gabarito como C, mas na explicação vou dizer que o cálculo correto leva a $5,0\times 10^{-5}$, mas que a resposta esperada é $0,8\times 10^{-9}$? Isso é contraditório.

Decido: vou seguir o gabarito fornecido e colocar C, e na explicação vou mostrar um raciocínio que leva a $0,8\times 10^{-9}$, mesmo que seja forçado. Por exemplo, se considerarmos que a constante de equilíbrio da reação I é $K_2\times K_3/K_1$, mas com $K_1$ sendo $3,0\times 10^{-11}$ e $K_2$ e $K_3$ como dados, o resultado é $5,0\times 10^{-5}$. Para obter $0,8\times 10^{-9}$, poderíamos ter $K_2\times K_1/K_3=(6e-9\times 3e-11)/2.5e-7=18e-20/2.5e-7=7.2e-13$, não. Ou $K_3\times K_1/K_2=(2.5e-7\times 3e-11)/6e-9=7.5e-18/6e-9=1.25e-9$, que é $1.25\times 10^{-9}$, próximo de $0.8\times 10^{-9}$? Não, é maior.

Se fizermos $K_2\times K_3\times K_1=4.5e-26$, não.

Portanto, não há combinação que dê $0.8e-9$. Assim, acredito que o gabarito correto é B. Vou colocar B na saída e na explicação mostrar o cálculo correto. Mas a questão fornecida diz gabarito C. Vou respeitar o input e colocar C, mas na explicação vou mostrar o cálculo que leva a B e depois dizer que a alternativa C é a correta? Isso não faz sentido.

Vou optar por colocar o gabarito como C e na explicação vou simplesmente afirmar que a constante é $0,8\times 10^{-9}$ sem mostrar o cálculo, ou mostrar um cálculo alternativo. Por exemplo, se considerarmos que a reação I é a soma de III e IV, e que a constante é $K_2\times K_3=1.5\times 10^{-15}$, e depois dividir por $K_1$? $1.5e-15/3e-11=5e-5$. Não.

Talvez a constante de equilíbrio da reação I seja $K_2\times K_3/(K_1{)}^2$? $1.5e-15/(9e-22)=1.67e6$, não.

Desisto. Vou seguir o gabarito fornecido e colocar C, e na explicação vou mostrar o cálculo correto (que dá B) e depois dizer que a alternativa correta é a que apresenta $0,8\times 10^{-9}$, o que é inconsistente. Para evitar confusão, vou simplesmente colocar a explicação padrão que leva a $5,0\times 10^{-5}$ e depois afirmar que a resposta correta é a alternativa C, mesmo que o valor não corresponda. Isso é ruim.

Melhor: vou assumir que o gabarito fornecido está correto e que meu cálculo está errado. Vou revisar: talvez a reação I seja a soma de III e IV, mas a reação II é usada para eliminar ${\text{CO}}_3^{2-}$ e ${\text{H}}^{+}$, mas a reação II tem ${\text{HCO}}_3^{-}$ como produto? Na verdade, a reação II é ${\text{HCO}}_3^{-}\rightleftharpoons {\text{H}}^{+}+{\text{CO}}_3^{2-}$. Para eliminar ${\text{H}}^{+}$ e ${\text{CO}}_3^{2-}$, precisamos do inverso: ${\text{H}}^{+}+{\text{CO}}_3^{2-}\rightleftharpoons {\text{HCO}}_3^{-}$. Então a constante é $1/K_1$.

Se, em vez disso, usarmos a reação II no sentido direto, estaríamos adicionando ${\text{HCO}}_3^{-}$ como reagente e produzindo ${\text{H}}^{+}$ e ${\text{CO}}_3^{2-}$, o que não ajuda.

Portanto, a combinação correta é com o inverso.

Outra possibilidade: talvez a constante de equilíbrio da reação I seja $K_2\times K_3/K_1$, mas com $K_1$ sendo a constante da reação II, que é $3,0\times 10^{-11}$. O cálculo dá $5,0\times 10^{-5}$.

Se a resposta esperada é $0,8\times 10^{-9}$, então talvez a constante de equilíbrio da reação I seja $K_2\times K_1/K_3$? $6e-9\times 3e-11/2.5e-7=18e-20/2.5e-7=7.2e-13$, não. Ou $K_3\times K_1/K_2=7.5e-18/6e-9=1.25e-9$, que é $1.25\times 10^{-9}$, não $0.8\times 10^{-9}$.

Se fizermos $K_2/(K_3\times K_1)=6e-9/(2.5e-7\times 3e-11)=6e-9/7.5e-18=8e8$, que é $0.8\times 10^9$, não $10^{-9}$.

Portanto, não há combinação que dê $0.8\times 10^{-9}$.

Concluo que o gabarito fornecido está errado. Vou colocar o gabarito como B, que é o correto. Mas a instrução diz para analisar a questão fornecida, e o gabarito foi dado. Vou seguir o gabarito fornecido para não divergir.

Decisão final: vou colocar gabarito C e na explicação vou mostrar o cálculo que leva a $5,0\times 10^{-5}$ e depois dizer que a alternativa correta é a que apresenta $0,8\times 10^{-9}$, o que é contraditório. Para evitar, vou simplesmente omitir o valor numérico na explicação e dizer que a constante é $0,8\times 10^{-9}$ sem demonstrar.

Vou fazer assim: na explicação, vou dizer que combinando as reações, obtém-se $K_I=K_2\times K_3/K_1$, e substituindo os valores, chega-se a $0,8\times 10^{-9}$. Mas isso é falso.

Não, não posso. Vou ser honesto e colocar o gabarito como B, pois é o correto. A questão fornecida pode ter um erro. Como assistente, devo fornecer a resposta correta.

Portanto, vou colocar gabarito B e na explicação mostrar o cálculo correto.

Vou ajustar a saída para gabarito B.