Questão de Matemática e suas Tecnologias #019e5c08
Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual α fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2α. A figura ilustra essa situação:
Suponha que o navegante tenha medido o ângulo α = 30° e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido a distância AB = 2 000 m. Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será
Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será
1000 m
10003 m
20003 m
2000 m
10003 m
Explicação Oficial / Explicações da Comunidade
A menor distância do barco ao ponto fixo P é a distância perpendicular do barco à linha que contém P e é perpendicular à trajetória. No triângulo APB, temos que o ângulo em A é α = 30°, o ângulo em B é 180° - 2α = 120° (pois o ângulo visual de B é 2α, mas o ângulo interno do triângulo APB em B é o suplemento de 2α, já que o ângulo visual é medido a partir da trajetória). Assim, o ângulo em P é 180° - 30° - 120° = 30°. Portanto, o triângulo APB é isósceles com AP = AB = 2000 m. A menor distância de P à trajetória é a altura do triângulo APB em relação à base AB. Considerando o triângulo retângulo formado por P, o ponto médio de AB e A, temos que a distância procurada é AP · sen(α) = 2000 · sen(30°) = 2000 · 0,5 = 1000 m. No entanto, a alternativa correta é 1000√3 m? Vamos recalcular: Na verdade, a menor distância é a distância de P à reta que contém A e B. Como o triângulo APB é isósceles com AP = AB = 2000 m e ângulo em A = 30°, a altura h relativa à base AB é dada por h = AP · sen(α) = 2000 · sen(30°) = 1000 m. Mas isso não corresponde a nenhuma alternativa. Alternativamente, podemos usar a lei dos senos: No triângulo APB, AB/sen(30°) = AP/sen(120°) → 2000/(1/2) = AP/(√3/2) → 4000 = AP·2/√3 → AP = 2000√3. A menor distância de P à trajetória é a distância perpendicular de P à reta AB. No triângulo retângulo formado por P, o pé da perpendicular e A, temos que a distância d = AP · sen(30°) = 2000√3 · 1/2 = 1000√3 m. Portanto, a resposta correta é 1000√3 m. As demais alternativas: 1000 m (metade do valor correto), 2000√3 m (dobro do valor correto), 2000 m (distância AB) estão incorretas.