Questão de Matemática e suas Tecnologias #019e5c0e

Enunciado da Questão

Matemática e suas Tecnologias

#cpf

#dígitos verificadores

#algoritmo

#resto da divisão

#matemática aplicada

Médio

Para cada indivíduo, a sua inscrição no Cadastro de Pessoas Físicas (CPF) é composto por um número de 9 algarismos e outro número de 2 algarismos, na forma $d_{1}$ $d_{2}$ , em que os dígitos $d_{1}$ e $d_{2}$ são denominados dígitos verificadores. Os dígitos verificadores são calculados, a partir da esquerda, da seguinte maneira: os 9 primeiros algarismos são multiplicados pela sequência 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2; em seguida, calcula-se o resto $r$ da divisão da soma dos resultados das multiplicações por 11, e se esse resto $r$ for 0 ou 1, $d_{1}$ é zero, caso contrário $d_{1} = (11 - r)$ . O dígito $d_{2}$ é calculado pela mesma regra, na qual os números a serem multiplicados pela sequência dada são contados a partir do segundo algarismo, sendo $d_{2}$ o último algarismo, isto é, $d_{2}$ é zero se o resto $s$ da divisão por 11 das somas das multiplicações for 0 ou 1, caso contrário, $d_{2} = (11 - s)$ .

Suponha que João tenha perdido seus documentos e que os nove primeiros algarismos eram 123.456.789. Neste caso, os dígitos verificadores $d_{1}$ e $d_{2}$ esquecidos são, respectivamente,

0 e 9

1 e 4

1 e 7

9 e 1

Correta

0 e 1

Explicação Oficial / Explicações da Comunidade

Para calcular $d_{1}$ , multiplicamos cada um dos 9 primeiros dígitos do CPF (1,2,3,4,5,6,7,8,9) pelos pesos 10,9,8,7,6,5,4,3,2, respectivamente. As multiplicações são: $1 \cdot 10 = 10$ , $2 \cdot 9 = 18$ , $3 \cdot 8 = 24$ , $4 \cdot 7 = 28$ , $5 \cdot 6 = 30$ , $6 \cdot 5 = 30$ , $7 \cdot 4 = 28$ , $8 \cdot 3 = 24$ , $9 \cdot 2 = 18$ . Somando: $10 + 18 + 24 + 28 + 30 + 30 + 28 + 24 + 18 = 210$ . Dividindo 210 por 11, obtemos quociente 19 e resto $r = 1$ (pois $11 \cdot 19 = 209$ , $210 - 209 = 1$ ). Como $r = 1$ , $d_{1} = 0$ .

Para $d_{2}$ , consideramos os dígitos do 2º ao 10º (incluindo $d_{1}$ que já calculamos como 0). Assim, os dígitos são: 2,3,4,5,6,7,8,9,0. Multiplicamos pelos pesos 10,9,8,7,6,5,4,3,2: $2 \cdot 10 = 20$ , $3 \cdot 9 = 27$ , $4 \cdot 8 = 32$ , $5 \cdot 7 = 35$ , $6 \cdot 6 = 36$ , $7 \cdot 5 = 35$ , $8 \cdot 4 = 32$ , $9 \cdot 3 = 27$ , $0 \cdot 2 = 0$ . Somando: $20 + 27 + 32 + 35 + 36 + 35 + 32 + 27 + 0 = 244$ . Dividindo 244 por 11, obtemos quociente 22 e resto $s = 2$ (pois $11 \cdot 22 = 242$ , $244 - 242 = 2$ ). Como $s = 2$ (diferente de 0 e 1), $d_{2} = 11 - s = 11 - 2 = 9$ . Portanto, os dígitos verificadores são $d_{1} = 0$ e $d_{2} = 9$ .

A alternativa que apresenta 0 e 9 está correta. As demais alternativas resultam de erros de cálculo ou interpretação: por exemplo, se o resto para $d_{1}$ fosse interpretado incorretamente como 0, levaria a $d_{1} = 0$ mas $d_{2}$ diferente; ou se a sequência de pesos fosse aplicada erroneamente, geraria outros valores.