Questão de Matemática e suas Tecnologias #019e5c10

Enunciado da Questão

Matemática e suas Tecnologias

#probabilidade

#sorteio

#métodos de amostragem

#comparação de chances

Médio

Um aluno de uma escola será escolhido por sorteio para representá-la em uma certa atividade. A escola tem dois turnos. No diurno há 300 alunos, distribuídos em 10 turmas de 30 alunos. No noturno há 240 alunos, distribuídos em 6 turmas de 40 alunos.
Em vez do sorteio direto envolvendo os 540 alunos, foram propostos dois outros métodos de sorteio.
Método I: escolher ao acaso um dos turnos e, a seguir, sortear um dos alunos do turno escolhido.
Método II: escolher ao acaso uma das 16 turmas e, a seguir, sortear um dos alunos dessa turma.

Sobre os métodos I e II de sorteio é correto afirmar:

em ambos os métodos, todos os alunos têm a mesma chance de serem sorteados.

no método I, todos os alunos têm a mesma chance de serem sorteados, mas, no método II a chance de um aluno do diurno ser sorteado é maior que a de um aluno do noturno.

no método II, todos os alunos têm a mesma chance de serem sorteados, mas, no método I, a chance de um aluno do diurno ser sorteado é maior que a de um aluno do noturno.

no método I, a chance de um aluno do noturno ser sorteado é maior do que a de um aluno do diurno, enquanto no método II ocorre o contrário.

Correta

em ambos os métodos, a chance de um aluno do diurno ser sorteado é maior do que a de um aluno do noturno.

Explicação Oficial / Explicações da Comunidade

A questão trata de probabilidade em sorteios com diferentes etapas. Vamos calcular a probabilidade de um aluno do diurno e do noturno ser sorteado em cada método.

Método I: Sorteia-se primeiro um turno (cada um com probabilidade $\frac{1}{2}$ ) e depois um aluno do turno escolhido.

Probabilidade de um aluno do diurno ser sorteado: $P (diurno) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{300} = \frac{1}{600}$ .
Probabilidade de um aluno do noturno ser sorteado: $P (noturno) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{240} = \frac{1}{480}$ .
Como $\frac{1}{480} > \frac{1}{600}$ , a chance de um aluno do noturno é maior.

Método II: Sorteia-se uma das 16 turmas (cada com probabilidade $\frac{1}{16}$ ) e depois um aluno da turma.

Turmas do diurno: 10 turmas de 30 alunos. Probabilidade de um aluno específico do diurno: $P (diurno) = \frac{1}{16} \times \frac{1}{30} = \frac{1}{480}$ .
Turmas do noturno: 6 turmas de 40 alunos. Probabilidade de um aluno específico do noturno: $P (noturno) = \frac{1}{16} \times \frac{1}{40} = \frac{1}{640}$ .
Aqui, $\frac{1}{480} > \frac{1}{640}$ , então a chance de um aluno do diurno é maior.

Portanto, no método I a chance do noturno é maior, e no método II a chance do diurno é maior, o que corresponde à alternativa correta.

Análise das alternativas incorretas:

A alternativa que afirma que em ambos os métodos todos os alunos têm a mesma chance está errada, pois as probabilidades são diferentes entre turnos.
A alternativa que diz que no método I todos têm mesma chance está errada, pois calculamos que as chances são diferentes.
A alternativa que diz que no método II todos têm mesma chance está errada, pois as chances são diferentes.
A alternativa que afirma que em ambos os métodos a chance do diurno é maior está errada, pois no método I a chance do noturno é maior.