Questão de Matemática e suas Tecnologias #019e5c13
Enunciado da Questão
Matemática e suas Tecnologias
#função quadrática
#máximo de função
#vértice da parábola
#modelagem matemática
#otimização
Médio
Um boato tem um público-alvo e alastra-se com determinada rapidez. Em geral, essa rapidez é diretamente proporcional ao número de pessoas desse público que conhecem o boato e diretamente proporcional também ao número de pessoas que não o conhecem. Em outras palavras, sendo R a rapidez de propagação, P o público-alvo e x o número de pessoas que conhecem o boato, tem-se: R(x) = k.x.(P-x), onde k é uma constante positiva característica do boato.
Considerando o modelo acima descrito, se o público-alvo é de 44.000 pessoas, então a máxima rapidez de propagação ocorrerá quando o boato for conhecido por um número de pessoas igual a:
A
11.000
B
22.000
Correta
C
33.000
D
38.000
E
44.000
Explicação Oficial / Explicações da Comunidade
A função que modela a rapidez de propagação do boato é R(x)=k⋅x⋅(P−x), onde P=44.000 e k > 0. Essa é uma função quadrática da forma R(x)=−kx2+kPx, cujo gráfico é uma parábola com concavidade voltada para baixo (coeficiente de x2 negativo). O valor máximo de R(x) ocorre no vértice da parábola. A abscissa do vértice é dada por xv=−2ab, onde a=−k e b=kP. Assim, xv=−2(−k)kP=2P=244.000=22.000. Portanto, a máxima rapidez ocorre quando 22.000 pessoas conhecem o boato. As demais alternativas estão incorretas: 11.000 e 33.000 correspondem a pontos simétricos em relação ao vértice, mas não ao máximo; 38.000 está próximo do extremo, mas não é o vértice; 44.000 anula a rapidez, pois R(44.000)=0.
