Questão de Matemática e suas Tecnologias #019e5bdd

1. Compreensão do Contexto Geral

A questão aborda o cálculo do tempo de viagem em movimento uniforme para cinco caminhos alternativos. O tempo de percurso ($t$) em cada trecho é calculado pela razão entre a distância percorrida ($\Delta s$) e a velocidade máxima permitida ($v$):

$t=\frac{\Delta s}{v}$

Para caminhos divididos em trechos percentuais, a distância de cada trecho corresponde à respectiva porcentagem do comprimento total do caminho. O tempo total é a soma dos tempos gastos em cada trecho.

2. Justificativa da Alternativa Correta

Calculando o tempo despendido no Caminho I:

• Comprimento total: $90\text{ km}$
• Trecho 1 (50%): $\Delta s_1=0,50\times 90=45\text{ km}$ a $100\text{ km/h}$
  $t_1=\frac{45}{100}\text{ h}=0,45\text{ h}=27\text{ min}$
• Trecho 2 (50%): $\Delta s_2=0,50\times 90=45\text{ km}$ a $120\text{ km/h}$
  $t_2=\frac{45}{120}\text{ h}=0,375\text{ h}=22,5\text{ min}$
• Tempo total do Caminho I:
  $t_{\text{I}}=27+22,5=49,5\text{ min}(0,825\text{ h})$

Como $49,5\text{ min}$ é estritamente inferior aos tempos calculados para todas as outras opções, o Caminho I é o que permite chegar ao destino no menor tempo possível.

3. Análise dos Distratores (Alternativas Incorretas)

• II: Incorreta. O percurso total é de $90\text{ km}$ percorrido integralmente a $70\text{ km/h}$. O tempo gasto é $t_{\text{II}}=\frac{90}{70}\text{ h}=\frac{9}{7}\text{ h}\approx 1,286\text{ h}\approx 77,14\text{ min}$, significativamente maior que o do Caminho I.
• III: Incorreta. O percurso total é de $100\text{ km}$: o primeiro trecho tem $30\text{ km}$ (30%) a $130\text{ km/h}$ $\left(t_1=\frac{30}{130}\text{ h}\approx 13,85\text{ min}\right)$ e o segundo tem $70\text{ km}$ (70%) a $90\text{ km/h}$ $\left(t_2=\frac{70}{90}\text{ h}\approx 46,67\text{ min}\right)$, totalizando $t_{\text{III}}\approx 60,51\text{ min}$ (mais de $1\text{ hora}$).
• IV: Incorreta. O percurso total é de $80\text{ km}$: o primeiro trecho tem $32\text{ km}$ (40%) a $100\text{ km/h}$ $\left(t_1=\frac{32}{100}\text{ h}=19,2\text{ min}\right)$ e o segundo tem $48\text{ km}$ (60%) a $90\text{ km/h}$ $\left(t_2=\frac{48}{90}\text{ h}=32\text{ min}\right)$, totalizando $t_{\text{IV}}=19,2+32=51,2\text{ min}$, tempo superior aos $49,5\text{ min}$ do Caminho I.
• V: Incorreta. O percurso total é de $120\text{ km}$ realizado inteiramente a $120\text{ km/h}$, resultando em $t_{\text{V}}=\frac{120}{120}\text{ h}=1\text{ h}=60\text{ min}$, superando o tempo do Caminho I.