Questão de Matemática e suas Tecnologias #019e5bdd

1. Compreensão do Contexto Geral

A questão aborda problemas clássicos de misturas e soluções sob a ótica da matemática básica (porcentagem e equações do primeiro grau). Nesses problemas, ao se acrescentar um soluto puro (neste caso, o xarope) a uma solução preexistente, alteram-se simultaneamente duas grandezas fundamentais:

1. A quantidade absoluta do componente de interesse (o xarope).
2. O volume total da nova mistura.

A fração ou porcentagem volumétrica de um componente em uma solução homogênea é dada pela razão entre o volume desse componente e o volume total da solução.

2. Justificativa da Alternativa Correta

Vamos modelar o problema algebricamente a partir das informações fornecidas:

1. Composição inicial:

   • Volume inicial de refrigerante: $V_i=10\text{ L}$.
   • Porcentagem de xarope na mistura original: $15\%$.
   • Volume inicial de xarope: $V_{\text{xarope inicial}}=0,15\times 10=1,5\text{ L}$.

2. Adição do xarope:

   • Seja $x$ o volume, em litros, de xarope puro adicionado.
   • Volume final de xarope: $1,5+x$.
   • Volume total da nova mistura: $10+x$.

3. Concentração final:

   • A nova composição deve conter $25\%=\frac{1}{4}$ de xarope em relação ao volume total.
     $\frac{1,5+x}{10+x}=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$

4. Resolução da equação:
   $4\cdot (1,5+x)=1\cdot (10+x)$
   $6+4x=10+x$
   $4x-x=10-6$
   $3x=4$
   $x=\frac{4}{3}\text{ L}$

Portanto, a quantidade de xarope adicionada foi de $\frac{4}{3}$ de litro (aproximadamente $1,33\text{ L}$). A alternativa correta é a $\frac{4}{3}$.

3. Análise dos Distratores (Alternativas Incorretas)

• $1$: Incorreta. Se adicionarmos $1\text{ L}$ de xarope puro, o volume de xarope passa a ser $1,5+1=2,5\text{ L}$ e o volume total passa a ser $10+1=11\text{ L}$. A concentração final seria $\frac{2,5}{11}\approx 22,7\%$, abaixo dos $25\%$ exigidos. Esse valor decorre do equívoco de desconsiderar o aumento do volume total no denominador ao fazer $\frac{2,5-1,5}{1}$.
• $2$: Incorreta. Com a adição de $2\text{ L}$ de xarope, teríamos $1,5+2=3,5\text{ L}$ de xarope em um total de $10+2=12\text{ L}$, resultando em uma fração de $\frac{3,5}{12}\approx 29,17\%$, o que ultrapassa a concentração estipulada de $25\%$.
• $\frac{5}{2}$: Incorreta. $\frac{5}{2}=2,5\text{ L}$. Esse valor representa exatamente $25\%$ do volume inicial ($10\text{ L}$), sendo um distrator típico para quem calcula $25\%\times 10=2,5\text{ L}$ e subtrai os $1,5\text{ L}$ já existentes ($2,5-1,5=1$) ou simplesmente assume que a quantidade adicionada deveria atingir os $2,5\text{ L}$ sem levar em conta que a mistura final terá seu volume expandido.
• $4$: Incorreta. Adicionando $4\text{ L}$ de xarope, teríamos $1,5+4=5,5\text{ L}$ de xarope em um volume total de $10+4=14\text{ L}$, o que levaria a uma concentração de $\frac{5,5}{14}\approx 39,29\%$, muito superior à taxa requerida.