Questão de Matemática e suas Tecnologias #019e5bdd

1. Compreensão do Contexto Geral

A questão trata da determinação da lei de formação (termo geral) de uma sequência numérica com crescimento exponencial, estruturada a partir de uma Progressão Geométrica (PG). No contexto da computação, grandezas associadas a memórias e capacidades de armazenamento comumente seguem potências de base $2$. O preço de cada dispositivo é diretamente proporcional à sua capacidade de armazenamento, sendo obtido pelo produto entre o custo unitário por gigabyte (R$ 10,00/GB) e a capacidade expressa em GB.

2. Justificativa da Alternativa Correta

Analisando a sequência das capacidades em gigabytes para cada posição $n$ ($n\in \{1,2,3,4,5\}$):

• Para $n=1$: $C_1=32=2^5$
• Para $n=2$: $C_2=64=2^6$
• Para $n=3$: $C_3=128=2^7$
• Para $n=4$: $C_4=256=2^8$
• Para $n=5$: $C_5=512=2^9$

Percebe-se que o expoente da base $2$ é sempre igual à posição $n$ somada a $4$, ou seja:
$C_n=2^{n+4}$

Como o preço $P_n$ é dado por R$ 10,00 por GB, temos:
$P_n=10\cdot C_n=10\cdot 2^{n+4}$

Verificação rápida para o primeiro termo ($n=1$):
$P_1=10\cdot 2^{1+4}=10\cdot 2^5=10\cdot 32=320$
O que corresponde perfeitamente ao valor real de 32\text{ GB} \times \text{R\} 10,00/\text{GB} = \text{R$} 320,00$.

Portanto, a alternativa correta é $10\cdot 2^{n+4}$.

3. Análise dos Distratores (Alternativas Incorretas)

• $2^{n+4}$: Incorreta. Essa expressão representa apenas a capacidade de armazenamento em GB ($C_n$), esquecendo-se de multiplicar pelo custo unitário de R$ 10,00 por GB.
• $5\cdot 2^{n+6}$: Incorreta. Desenvolvendo a expressão para $n=1$, obtém-se $5\cdot 2^{1+6}=5\cdot 2^7=5\cdot 128=640$, que é o dobro do preço correto para o primeiro dispositivo ($P_1=320$). Note que $10\cdot 2^{n+4}=(5\cdot 2)\cdot 2^{n+4}=5\cdot 2^{n+5}$, e não $5\cdot 2^{n+6}$.
• $10\cdot (2^n+4)$: Incorreta. Essa fórmula confunde a adição no expoente ($2^{n+4}$) com uma soma linear após a potenciação ($2^n+4$). Para $n=1$, resultaria em $10\cdot (2^1+4)=10\cdot 6=60$, em desacordo com $P_1=320$.
• $10\cdot (2^{n-1}+32)$: Incorreta. Trata-se de uma tentativa equivocada de adaptar a fórmula do termo geral de uma PG ($a_n=a_1\cdot q^{n-1}$). Para $n=1$, essa expressão resulta em $10\cdot (2^0+32)=10\cdot (1+32)=330$, divergindo do valor esperado de R$ 320,00.