Questão de Matemática e suas Tecnologias #019e5bea

A questão pede a menor medida possível dos cabos, que são iguais para cada opção. O comprimento $L$ do cabo é dado por $L=\frac{h}{\text{sen}(\alpha )}$, pois o cabo é a hipotenusa de um triângulo retângulo com cateto oposto $h$ e ângulo $\alpha$. Calculando para cada opção:

• Opção I: $h=11\text{ m}$, $\alpha =30^{\circ }\to L=\frac{11}{\text{sen}(30^{\circ })}=\frac{11}{0,5}=22\text{ m}$.
• Opção II: $h=12\text{ m}$, $\alpha =45^{\circ }\to L=\frac{12}{\text{sen}(45^{\circ })}=\frac{12}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=12\cdot \frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{24}{\sqrt{2}}=12\sqrt{2}\text{ m}$.
• Opção III: $h=18\text{ m}$, $\alpha =60^{\circ }\to L=\frac{18}{\text{sen}(60^{\circ })}=\frac{18}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=18\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{36}{\sqrt{3}}=12\sqrt{3}\text{ m}$.
  Comparando os valores: $22\text{ m}$, $12\sqrt{2}\text{ m}\approx 16,97\text{ m}$, $12\sqrt{3}\text{ m}\approx 20,78\text{ m}$. O menor é $12\sqrt{2}\text{ m}$, correspondente à opção II. Portanto, a resposta correta é $12\sqrt{2}$.

As demais alternativas:

• $\frac{22\sqrt{3}}{3}\text{ m}\approx 12,70\text{ m}$, que não corresponde a nenhum cálculo correto.
• $11\sqrt{2}\text{ m}\approx 15,56\text{ m}$, que seria o comprimento se $h$ fosse $11\text{ m}$ e $\alpha =45^{\circ }$, mas não é o caso.
• $12\sqrt{3}\text{ m}\approx 20,78\text{ m}$, que é o comprimento da opção III, maior que $12\sqrt{2}$.
• $22\text{ m}$, que é o comprimento da opção I, também maior.