Questão de Matemática e suas Tecnologias #019e5beb

A questão envolve resolver um sistema de equações para determinar os comprimentos das voltas de cada circuito e, em seguida, maximizar o número total de voltas para percorrer $5000\text{ m}$.

Seja $x$ o comprimento da volta do circuito maior e $y$ o comprimento da volta do circuito menor. Do primeiro dia: $3x+2y=1800$ e $2x+y=1100$. Resolvendo, obtém-se $x=400\text{ m}$ e $y=300\text{ m}$.

No segundo dia, ele quer percorrer $5000\text{ m}$ com um número inteiro de voltas, sendo o número total de voltas o maior possível. Isso significa maximizar $(a+b)$ sujeito a $400a+300b=5000$, com $a$ e $b$ inteiros não negativos. Dividindo por $100$: $4a+3b=50$.

Para maximizar $a+b$, devemos usar o máximo possível de voltas menores ($b$), pois elas têm menor comprimento. Testando valores: $b=16\to 4a=50-48=2\to a=0,5$ (não inteiro). $b=15\to 4a=50-45=5\to a=1,25$ (não inteiro). $b=14\to 4a=50-42=8\to a=2$ (inteiro). Então $a=2$, $b=14$, total $=16$ voltas.

Verificando outras possibilidades: $b=10\to 4a=20\to a=5$, total $=15$ (menor que $16$). $b=6\to 4a=32\to a=8$, total $=14$. $b=2\to 4a=44\to a=11$, total $=13$. Portanto, o maior total é $16$.

As alternativas incorretas: $10$, $13$, $14$ e $15$ são possíveis totais, mas não o máximo. A alternativa que indica $16$ é a correta.