Questão de Matemática e suas Tecnologias #019e5beb

Enunciado da Questão

Matemática e suas Tecnologias

#Análise Combinatória

Médio

Um prédio, com 9 andares e 8 apartamentos de 2 quartos por andar, está com todos os seus apartamentos à venda. Os apartamentos são identificados por números formados por dois algarismos, sendo que a dezena indica o andar onde se encontra o apartamento, e a unidade, um algarismo de 1 a 8, que diferencia os apartamentos de um mesmo andar. Quanto à incidência de sol nos quartos desses apartamentos, constatam-se as seguintes características, em função de seus números de identificação: • naqueles que finalizam em 1 ou 2, ambos os quartos recebem sol apenas na parte da manhã; • naqueles que finalizam em 3, 4, 5 ou 6, apenas um dos quartos recebe sol na parte da manhã; • naqueles que finalizam em 7 ou 8, ambos os quartos recebem sol apenas na parte da tarde. Uma pessoa pretende comprar 2 desses apartamentos em um mesmo andar, mas quer que, em ambos, pelo menos um dos quartos receba sol na parte da manhã. De quantas maneiras diferentes essa pessoa poderá escolher 2 desses apartamentos para compra nas condições desejadas?

$9 \times \frac{6 !}{( 6 - 2 )!}$

$9 \times \frac{6 !}{( 6 - 2 )! \times 2 !}$

Correta

$9 \times \frac{4 !}{( 4 - 2 )! \times 2 !}$

$9 \times \frac{2 !}{( 2 - 2 )! \times 2 !}$

$9 \times (\frac{8 !}{( 8 - 2 )! \times 2 !} - 1)$

Explicação Oficial / Explicações da Comunidade

A resposta correta é a que apresenta $9 \times C (6, 2) \times 2!$ .

Explicação detalhada:

O prédio tem $9$ andares, cada um com $8$ apartamentos numerados de $1$ a $8$ . A condição para cada apartamento é: se o número termina em $1$ ou $2$ , ambos os quartos recebem sol apenas pela manhã; se termina em $3, 4, 5$ ou $6$ , apenas um quarto recebe sol pela manhã; se termina em $7$ ou $8$ , ambos os quartos recebem sol apenas à tarde. A pessoa quer comprar $2$ apartamentos no mesmo andar, e em ambos pelo menos um quarto receba sol pela manhã. Isso significa que os apartamentos escolhidos não podem ser os que terminam em $7$ ou $8$ (pois neles nenhum quarto recebe sol pela manhã). Portanto, em cada andar, os apartamentos que atendem à condição são os de final $1, 2, 3, 4, 5, 6$ , totalizando $6$ apartamentos por andar.

A pessoa deve escolher $2$ desses $6$ apartamentos. A ordem de escolha importa? O enunciado diz "escolher $2$ desses apartamentos", e as opções incluem fatoriais ( $2!$ ), indicando que a ordem importa (por exemplo, comprar o apartamento $1$ e depois o $2$ é diferente de comprar o $2$ e depois o $1$ ? Na verdade, a compra de dois apartamentos é um conjunto, mas a expressão "maneiras diferentes" pode considerar a ordem de escolha ou a permutação entre os apartamentos. Analisando as alternativas, a presença de $2!$ sugere que a ordem é relevante.

Assim, para cada andar, o número de maneiras de escolher $2$ apartamentos entre os $6$ , considerando a ordem, é: primeiro escolhe-se um dos $6$ , depois um dos $5$ restantes, totalizando $6 \times 5 = 30$ , que é igual a $C (6, 2) \times 2! = 15 \times 2 = 30$ . Como há $9$ andares, multiplica-se por $9$ , resultando em $9 \times C (6, 2) \times 2!$ .

Análise das alternativas incorretas:

A alternativa que apresenta $9 \times C (6, 2)$ (sem o $2!$ ) considera apenas combinações, ignorando a ordem, o que daria $9 \times 15 = 135$ , mas o correto é $9 \times 30 = 270$ .
A alternativa com $9 \times C (4, 2) \times 2!$ considera apenas $4$ apartamentos por andar (provavelmente os de final $1, 2, 3, 4$ ?), mas são $6$ .
A alternativa com $9 \times C (2, 2) \times 2!$ considera apenas $2$ apartamentos (finais $1$ e $2$ ?), mas são $6$ .
A alternativa com $9 \times C (8, 2) \times 1$ considera todos os $8$ apartamentos, incluindo os que não atendem à condição (finais $7$ e $8$ ).