Questão de Matemática e suas Tecnologias #019e5bf0

Enunciado da Questão

Matemática e suas Tecnologias

#Escala e Proporcionalidade

Médio

Um clube deseja produzir miniaturas em escala do troféu que ganhou no último campeonato. O troféu está representado na Figura 1 e é composto por uma base em formato de um paralelepípedo reto-retângulo de madeira, sobre a qual estão fi xadas três hastes verticais que sustentam uma esfera de 30 cm de diâmetro, que fi ca centralizada sobre a base de madeira. O troféu tem 100 cm de altura, incluída sua base.

$Figura 1: Troféu composto por uma base de madeira em forma de paralelepípedo reto-retângulo, sobre a qual estão fixadas três hastes verticais que sustentam uma esfera centralizada de $30\text{ cm}$ de diâmetro. O troféu tem $100\text{ cm}$ de altura total. Figura 2: Base da caixa de vidro em formato de paralelepípedo reto-retângulo com dimensões internas de $8\text{ cm}$ por $10\text{ cm}$.$

A miniatura desse troféu deverá ser instalada no interior de uma caixa de vidro, em formato de paralelepípedo reto-retângulo, cujas dimensões internas de sua base estão indicadas na Figura 2, de modo que a base do troféu seja colada na base da caixa e distante das paredes laterais da caixa de vidro em pelo menos 1 cm. Deve ainda haver uma distância de exatos 2 cm entre o topo da esfera e a tampa dessa caixa de vidro. Nessas condições deseja-se fazer a maior miniatura possível.

A medida da altura, em centímetro, dessa caixa de vidro deverá ser igual a

Correta

Explicação Oficial / Explicações da Comunidade

Para encontrar a maior miniatura possível, determinamos a escala a partir das dimensões da base do troféu original ( $50 cm \times 50 cm$ ) e da caixa de vidro ( $8 cm \times 10 cm$ ). Como a base do troféu deve estar distante de pelo menos $1 cm$ de cada lateral, a base da miniatura pode medir no máximo $8 - 2 = 6 cm$ e $10 - 2 = 8 cm$ . Sendo a base quadrada ( $50 cm \times 50 cm$ ), a escala limitante é dada pela menor dimensão, ou seja, a miniatura deve ter base de $6 cm$ . Assim, a razão de escala é $\frac{6}{50} = \frac{3}{25} = 0, 12$ . A altura da miniatura do troféu será de $100 \cdot 0, 12 = 12 cm$ . Como há uma folga de $2 cm$ até o topo da caixa, a altura total da caixa de vidro é de $12 + 2 = 14 cm$ . As alternativas incorretas: $12 cm$ desconsidera a folga de $2 cm$ ; $16 cm$ , $18 cm$ e $20 cm$ resultariam de escalas maiores que não respeitam as restrições da base.