Questão de Matemática e suas Tecnologias #019e5bf0

Enunciado da Questão

Matemática e suas Tecnologias

#Logaritmos

Médio

A Lei de Zipf, batizada com o nome do linguista americano George Zipf, é uma lei empírica que relaciona a frequência ( $f$ ) de uma palavra em um dado texto com o seu ranking ( $r$ ). Ela é dada por

f = \frac{A}{r^B}

O ranking da palavra é a sua posição ao ordenar as palavras por ordem de frequência. Ou seja, $r = 1$ para a palavra mais frequente, $r = 2$ para a segunda palavra mais frequente e assim sucessivamente. $A$ e $B$ são constantes positivas.

Diponível em: http://klein.sbm.org.br. Acesso em: 12 ago. 2020 (adatpado).

Com base nos valores de $X = lo g (r)$ e $Y = lo g (f)$ , é possível estimar valores para $A$ e $B$ .
No caso hipotético em que a lei é verificada exatamente, a relação entre $Y$ e $X$ é

$Y = lo g (A) - B \cdot X$

Correta

$Y = \frac{l o g ( A )}{X + l o g ( B )}$

$Y = \frac{l o g ( A )}{B} - X$

$Y = \frac{l o g ( A )}{B \cdot X}$

$Y = \frac{l o g ( A )}{X ^{B}}$

Explicação Oficial / Explicações da Comunidade

A Lei de Zipf é dada por $f = \frac{A}{r ^{B}}$ . Aplicando logaritmo em ambos os lados, temos $lo g f = lo g A - B lo g r$ . Como $X = lo g r$ e $Y = lo g f$ , obtemos $Y = lo g A - B \cdot X$ . Portanto, a alternativa que apresenta $Y = lo g A - B \cdot X$ está correta.

As demais alternativas estão incorretas:

A que apresenta $Y = lo g A + B \cdot X$ teria sinal trocado, resultando de um erro na aplicação do logaritmo.
A que apresenta $Y = lo g A - \frac{B}{X}$ confunde a operação, pois o correto é subtrair $B$ vezes $X$ , e não $B$ dividido por $X$ .
A que apresenta $Y = \frac{l o g A}{B} \cdot X$ inverte a posição de $B$ , como se $B$ estivesse no denominador do coeficiente angular.
A que apresenta $Y = \frac{X ^{B}}{l o g A}$ não corresponde a uma relação linear entre $Y$ e $X$ , sendo uma função exponencial/potência.