Questão de Matemática e suas Tecnologias #019e5bf0

Enunciado da Questão

Matemática e suas Tecnologias

#Progressão Geométrica

Médio

O artista gráfico holandês Maurits Cornelius Escher criou belíssimas obras nas quais as imagens se repetiam, com diferentes tamanhos, induzindo ao raciocínio de repetição infinita das imagens. Inspirado por ele, um artista fez um rascunho de uma obra na qual propunha a ideia de construção de uma sequência de infinitos quadrados, cada vez menores, uns sob os outros, conforme indicado na figura.

O quadrado $P R S T$ , com lado de medida $1$ , é o ponto de partida. O segundo quadrado é construído sob ele tomando-se o ponto médio da base do quadrado anterior e criando-se um novo quadrado, cujo lado corresponde à metade dessa base. Essa sequência de construção se repete recursivamente.
Qual é a medida do lado do centésimo quadrado construído de acordo com esse padrão?

$(\frac{1}{2})^{100}$

$(\frac{1}{2})^{96}$

$(\frac{1}{2})^{97}$

$(\frac{1}{2})^{98}$

$(\frac{1}{2})^{99}$

Correta

Explicação Oficial / Explicações da Comunidade

A sequência de quadrados segue uma progressão geométrica onde o lado do primeiro quadrado é $1$ , do segundo é $\frac{1}{2}$ , do terceiro é $(\frac{1}{2})^{2}$ , e assim por diante. O lado do $n$ -ésimo quadrado é $(\frac{1}{2})^{n - 1}$ . Para o centésimo quadrado, $n = 100$ , então o lado é $(\frac{1}{2})^{100 - 1} = (\frac{1}{2})^{99}$ . Portanto, a alternativa correta é $(\frac{1}{2})^{99}$ .

As demais alternativas estão incorretas: $(\frac{1}{2})^{26}$ corresponderia ao $2 7^{\circ}$ quadrado; $(\frac{1}{2})^{97}$ corresponderia ao $9 8^{\circ}$ quadrado; $(\frac{1}{2})^{98}$ corresponderia ao $9 9^{\circ}$ quadrado. Note que a alternativa B e E são idênticas, mas apenas uma é a correta.