Questão de Matemática e suas Tecnologias #019e5bf0

Enunciado da Questão

Matemática e suas Tecnologias

#Geometria Espacial

Médio

No período de fi m de ano, o síndico de um condomínio resolveu colocar, em um poste, uma iluminação natalina em formato de cone, lembrando uma árvore de Natal, conforme as fi guras 1 e 2.

$Figura 1: Vista lateral de um poste vertical com uma circunferência no chão centrada no ponto $C$, onde o poste está fixado. Do ponto $P$ no poste a $3\text{ m}$ de altura, partem segmentos de reta (mangueiras de iluminação) até pontos na circunferência, formando um cone. Figura 2: Vista superior da circunferência dividida em 20 arcos iguais, com pontos de fixação das mangueiras.$

A árvore deverá ser feita colocando-se mangueiras de iluminação, consideradas segmentos de reta de mesmo comprimento, a partir de um ponto situado a 3 m de altura no poste até um ponto de uma circunferência de fi xação, no chão, de tal forma que esta fi que dividida em 20 arcos iguais. O poste está fi xado no ponto C (centro da circunferência) perpendicularmente ao plano do chão. Para economizar, ele utilizará mangueiras de iluminação aproveitadas de anos anteriores, que juntas totalizaram pouco mais de 100 m de comprimento, dos quais ele decide usar exatamente 100 m e deixar o restante como reserva.

Para que ele atinja seu objetivo, o raio, em metro, da circunferência deverá ser de

4,00.

Correta

4,87.

5,00.

5,83.

6,26.

Explicação Oficial / Explicações da Comunidade

A questão envolve geometria espacial e trigonometria. O síndico quer usar exatamente $100 m$ de mangueira para formar um cone com 20 geratrizes (segmentos de reta do ponto no poste até a circunferência). Cada geratriz tem comprimento $L$ , e o total de mangueira é $20 L = 100 m$ , logo $L = 5 m$ . O poste tem altura de $3 m$ até o ponto de onde partem as mangueiras. O raio $R$ da circunferência, a altura $h = 3 m$ e a geratriz $L = 5 m$ formam um triângulo retângulo, com $L$ como hipotenusa. Pelo Teorema de Pitágoras: $R^{2} + h^{2} = L^{2} \to R^{2} + 3^{2} = 5^{2} \to R^{2} + 9 = 25 \to R^{2} = 16 \to R = 4 m$ . Portanto, o raio deve ser $4, 00 m$ . As demais alternativas resultariam de erros comuns: $4, 87 m$ (talvez usando seno de $1 8^{\circ}$ incorretamente), $5, 00 m$ (confundindo raio com geratriz), $5, 83 m$ (usando cosseno de $3 0^{\circ}$ ), $6, 26 m$ (usando tangente de $3 0^{\circ}$ ).