Questão de Matemática #019f69c5

Para resolver esta questão, devemos calcular a variância de uma variável aleatória contínua $Y$ que segue uma distribuição uniforme no intervalo $(0,1)$, ou seja, $Y\sim U(0,1)$.

Método 1: Pela Fórmula Direta da Distribuição Uniforme

Para qualquer variável aleatória $X$ com distribuição uniforme contínua no intervalo $(a,b)$, a variância é dada pela fórmula padronizada:
$\mathrm{Var}(X)=\frac{(b-a{)}^2}{12}$

Substituindo os limites do intervalo dado para $Y$, onde $a=0$ e $b=1$:
$\mathrm{Var}(Y)=\frac{(1-0{)}^2}{12}=\frac{1^2}{12}=\frac{1}{12}$

Método 2: Pela Definição de Variância (Integração)

A variância de uma variável aleatória também pode ser calculada através dos seus momentos:
$\mathrm{Var}(Y)=E[Y^2]-(E[Y]{)}^2$

A função de densidade de probabilidade (FDP) de $Y\sim U(0,1)$ é:
$f(y)=\{\begin{array}{llcc}1,& amp;\text{se }0& lt;y& lt;1\\ 0,& amp;\text{caso contraˊrio}& & \end{array}$

1. Calculando a Esperança $E[Y]$:
$E[Y]={\int }_0^{1}y\cdot f(y)dy={\int }_0^{1}y\cdot 1dy={\left[\frac{y^2}{2}\right]}_0^1=\frac{1^2}{2}-\frac{0^2}{2}=\frac{1}{2}$

2. Calculando o Segundo Momento $E[Y^2]$:
$E[Y^2]={\int }_0^1{y}^2\cdot f(y)dy={\int }_0^1{y}^2\cdot 1dy={\left[\frac{y^3}{3}\right]}_0^1=\frac{1^3}{3}-\frac{0^3}{3}=\frac{1}{3}$

3. Substituindo na Fórmula da Variância:
$\mathrm{Var}(Y)=\frac{1}{3}-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2$
$\mathrm{Var}(Y)=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$

Encontrando o denominador comum (12):
$\mathrm{Var}(Y)=\frac{4}{12}-\frac{3}{12}=\frac{1}{12}$

Ambos os métodos confirmam que a variância é igual a $\frac{1}{12}$, validando a alternativa E como a correta.