Questão de Matemática #019f69c5

A Estimação por Máxima Verossimilhança (EMV) é um dos métodos mais robustos e utilizados na inferência estatística para estimar parâmetros populacionais a partir de uma amostra observada. O objetivo fundamental é encontrar o valor do parâmetro (neste caso, $\beta$) que maximiza a probabilidade (ou densidade) de termos obtido a amostra que de fato observamos.

Método Geral para Obtenção da EMV

Para encontrar a estimativa de máxima verossimilhança de um parâmetro $\beta$, seguimos sistematicamente cinco passos fundamentais:

1. Construção da Função de Verossimilhança $L(\beta )$:
   Dada uma amostra aleatória independente e identicamente distribuída (i.i.d.) $X_1,X_2,\dots ,X_n$, a função de verossimilhança é o produto das funções de densidade (ou probabilidade) de cada observação:
   $L(\beta )={\prod }_{i=1}^{n}f(x_i;\beta )$

2. Aplicação do Logaritmo (Função de Log-Verossimilhança $\ln L(\beta )$):
   Como a função logarítmica é estritamente crescente, o valor de $\beta$ que maximiza $\ln L(\beta )$ é o mesmo que maximiza $L(\beta )$. O logaritmo transforma o produtório em um somatório, facilitando a derivação:
   $\ln L(\beta )={\sum }_{i=1}^n\ln f(x_i;\beta )$

3. Cálculo da Primeira Derivada (Função de Score):
   Derivamos a função de log-verossimilhança em relação ao parâmetro de interesse $\beta$:
   $\frac{d}{d\beta }\ln L(\beta )$

4. Igualação a Zero (Ponto Crítico):
   Para encontrar o ponto de máximo, igualamos a derivada a zero e isolamos o parâmetro $\beta$ (encontrando o estimador $\hat{\beta }$):
   $\frac{d}{d\beta }\ln L(\beta )=0⟹\hat{\beta }$

5. Condição de Segunda Ordem:
   Para garantir que o ponto crítico é de fato um ponto de máximo, a segunda derivada deve ser negativa no ponto estimado:
   \frac{d^2}{d\beta^2} \ln L(\beta) < 0

Exemplo Prático Ilustrativo

Considere um cenário clássico de concurso onde a variável segue uma Distribuição Exponencial com parâmetro de taxa $\beta$ (densidade $f(x)=\beta e^{-\beta x}$, para $x\ge 0$).

Se tivermos uma amostra de tamanho $n=3$ com os seguintes valores observados: $x=\{0,1;0,3;0,2\}$.

1. Log-Verossimilhança:
   $\ln L(\beta )=n\ln (\beta )-\beta {\sum }_{i=1}^n{x}_i$

2. Derivando e igualando a zero:
   $\frac{d}{d\beta }\ln L(\beta )=\frac{n}{\beta }-{\sum }_{i=1}^n{x}_i=0⟹\hat{\beta }=\frac{n}{{\sum }_{i=1}^n{x}_i}=\frac{1}{\bar{X}}$

3. Cálculo Numérico:

   • Média amostral ($\bar{X}$): $\frac{0,1+0,3+0,2}{3}=0,2$
   • Estimativa de Máxima Verossimilhança ($\hat{\beta }$):
     $\hat{\beta }=\frac{1}{0,2}=5$

Como $5\ge 3,5$, a afirmação de que a estimativa é igual ou superior a 3,5 está correta, validando o gabarito como Certo (C).