Questão de Matemática #019f69c5

A questão aborda o conceito de mediana para um conjunto de dados ou amostra de tamanho par ($n=6$) e a importância da ordenação dos dados (estatísticas de ordem).

1. Definição de Mediana para Amostras de Tamanho Par ($n=2k$):
Para calcular a mediana de um conjunto de observações $X=\{X_1,X_2,\dots ,X_n\}$, o primeiro passo obrigatório é ordenar os dados em ordem crescente (gerando o chamado "rol" de dados). As observações ordenadas são chamadas de estatísticas de ordem e denotadas por parênteses nos subscritos:
$X_{(1)}\le X_{(2)}\le \cdots \le X_{(n)}$

Quando o tamanho da amostra $n$ é par (no caso, $n=6$), a mediana é a média aritmética dos dois valores centrais da amostra ordenada:
$\text{Mediana}=\frac{X_{(3)}+X_{(4)}}{2}$

2. Por que a afirmação está Errada (Gabarito: E)?
A questão afirma que a mediana é igual a:
$\frac{X_3+X_4}{2}$

Sem os parênteses nos subscritos, os termos $X_3$ e $X_4$ representam, respectivamente, a terceira e a quarta observações na ordem original de coleta/entrada, que não estão necessariamente ordenadas.

• Exemplo Prático:
  Considere a amostra de tamanho $n=6$: $X=\{10,20,5,50,1,8\}$.
• Os valores de coleta são: $X_1=10,X_2=20,X_3=5,X_4=50,X_5=1,X_6=8$.
• Pela fórmula incorreta da questão: $\frac{X_3+X_4}{2}=\frac{5+50}{2}=27,5$.
• Agora, ordenando a amostra para obter as estatísticas de ordem: $\{1,5,8,10,20,50\}$.
  Aqui, $X_{(1)}=1,X_{(2)}=5,X_{(3)}=8,X_{(4)}=10,X_{(5)}=20,X_{(6)}=50$.
• A mediana real é: $\frac{X_{(3)}+X_{(4)}}{2}=\frac{8+10}{2}=9$.

Como $9\ne 27,5$, fica evidente que utilizar as variáveis não ordenadas ($X_3$ e $X_4$) leva a um resultado incorreto. Portanto, o item está Errado.