Questão de Matemática #019f69c6

Para analisar a afirmação, precisamos determinar a taxa de variação instantânea da fração de pessoas que conhecem a notícia, que é dada pela derivada da função $f(t)$ em relação ao tempo $t$. Essa taxa representa o "espalhamento da notícia por unidade de tempo".

A função dada é uma função logística:
$f(t)=\frac{1}{1+199e^{-0,5t}}$

Uma propriedade fundamental de qualquer função logística da forma $f(t)=\frac{1}{1+C{e}^{-kt}}$ é que ela satisfaz a seguinte equação diferencial de crescimento logístico:
$\frac{df}{dt}=k\cdot f(t)\cdot (1-f(t))$

No nosso caso, o parâmetro de crescimento é $k=0,5$. Portanto, a taxa de espalhamento da notícia em qualquer instante $t$ é dada por:
f'(t) = 0,5 \cdot f(t) \cdot (1 - f(t))

Como $f(t)$ representa a fração da população que conhece a notícia, temos que $0\le f(t)\le 1$. Para encontrar a taxa máxima de espalhamento, precisamos maximizar a expressão $g(x)=x(1-x)$ no intervalo $[0,1]$, onde $x=f(t)$.

A função quadrática $g(x)=-x^2+x$ possui concavidade voltada para baixo e seu valor máximo ocorre no vértice:
$x_v=\frac{-1}{2(-1)}=0,5$

O valor máximo de $g(x)$ é:
$g(0,5)=0,5\cdot (1-0,5)=0,25$

Substituindo esse valor máximo de volta na equação da derivada, obtemos a taxa máxima de espalhamento:
f'(t)_{\text{máx}} = 0,5 \cdot 0,25 = 0,125 \text{ ou } 12,5\%

Portanto, a taxa máxima de espalhamento da notícia é de 12,5% por unidade de tempo (dia). Logo, é matematicamente impossível que o espalhamento seja superior a 50% por unidade de tempo.

A afirmação está incorreta (Errado).